Ročník 2002‎ > ‎4. číslo‎ > ‎

Tomistické pojetí matematiky a logiky

David Černý

Motto:„…nella matematica non esiste alcun ignorabimus; al contrario, noi possiamo sempre dare risposte alle questioni sensate. … al posto dello stolto ignorabimus, la nostra parola d’ordine e invece: noi dobbiamo sapere, noi sapremo.“

David Hilbert

Matematika a logika jsou vědy, které se tradičně považují za jisté paradigma strohé a precizní přesnosti, za místo věčných pravd (což se např. odráží v tvrzení, že matematická tvrzení jsou pravdivá ve všech možných světech), a pro někoho je matematika třeba i místem krásy a elegance, což je někdy považováno za determinativní prvek ve výběru konkurujících si matematických fyzikálních teorií – vybírá je ta elegantnější, jednodušší a „krásnější“.

Jakkoliv jsou jistě matematika i logika krásnými vědeckými disciplínami, ještě víc vzrušující svět se pátrajícímu pohledu vyjeví, pokusí-li se překročit práh samotného formalismu logických teorií, přejde-li složité matematické rovnice a algebraické konstrukce a nahlédne do světa základů logiky a matematiky, kde základy nerozumíme nějaké uvedení do obou zmíněných disciplín, ale to, pro co má angličtina všeobecně srozumitelný termín, totiž fundaments. Zde se setkáváme nikoli s otázkami „Jak se řeší kvadratická rovnice“ či „Jak vypadá důkaz věty A ze systému axiomů S“, ale spíše s otázkami „Co je to matematika (logika)“, „Jaká je jejich nevlastnější povaha“, „Co je skutečným předmětem jejich zájmu“, „Jak může matematika popisovat reálný svět“, a podobně. Již samotná povaha položených otázek obsahuje zřetelný odkaz na filosofii, ať již v tomto okamžiku chápeme pod tímto termínem cokoli, tedy nejenom systematickou a přísně racionální spekulativní vědu, ale také osobní postoje jednotlivých matematiků, jejich náboženské založení a podobně – neboť i tyto, řekněme implicitní předpoklady, byly spolupříčinou konkrétního postoje nějakého matematika či logika k fundamentům jeho disciplíny.

Zároveň s hlubším vhledem do povahy zkoumaných formálních disciplín se rovněž odkrývá svět poněkud méně souměrný a názorově homogenní, než se může zdát, zůstaneme-li pouze v rámci jednotlivých logických formálních systémů, či třeba teorie grup. Vynořují se problémy zcela principiálního rázu, na které je možné nalézt protikladné odpovědi, ukazují se charakteristiky, které bychom nikdy předtím ani matematice, ani logice nepřiřkli, protože je spatřujeme především v méně abstraktních a precizních vědních disciplínách; ukazuje se ovšem také jistá a naprosto neodlučitelná závislost matematiky a logiky na filosofii, která je v postmoderní době chápána příliš relativisticky, než aby se zdála být vhodným kandidátem na „poskytovatele“ jistých „proto-faktů“, bez nichž nejsou obě dvě disciplíny možné. Statický, platónský svět věčných pravd a krásy – souměrnosti – získává stále větší trhliny, které poukazují podstatné omyly v metodologických pokusech vykládat svět „na jeden způsob“, totiž jazykem matematiky, jak to požadoval Galileo. Tento metodologický monismus se ukazuje jako mylný nejen ve vztahu matematika (logika) – vnější svět, ale také v rámci těchto samotných disciplín, navzdory ambicióznímu programu Davida Hilberta; a můžeme rovněž poukázat na to, že se ukazuje mylný i v jiných disciplínách, jako je metodologie přírodních věd či filosofie, tentokrát třeba navzdory ambicióznímu plánu Rudolfa Carnapa a novopozitivistů vůbec.

Matematika si prošla třemi velkými krizemi, jednou již ve starověkém Řecku v souvislosti se Zenónovými aporiemi a objevením nesouměřitelnosti úhlopříčky a strany čtverce, tj. vlastně s objevem iracionálních čísel; druhá krize matematiky je mnohem pozdějšího data a je spojována s objevem infinitezimálního kalkulu nezávisle na sobě a ze zcela jiných pohnutek Leibnizem a Newtonem; a konečně třetí krize matematiky je data velmi moderního, protože má jednak počátky na začátku našeho století, jak v antinomiích množin, tak především ve slavných Gödelových větách, ale hlavně vlastně nebyla překonána dodnes. Existují různé dílčí pokusy, jak třetí krizi matematiky překonat, jak se s ní vyrovnat, či alespoň její důsledky poněkud oslabit; např. alternativní teorie množin (pro příklad teorie množin vynikajícího českého matematika Petra Vopěnky, která vychází z celkové analýzy a kritiky moderní přírodovědy a neskrývá svou inspiraci Husserlovou fenomenologií), existují alternativní pokusy o výklad matematické analýzy založené na pojmu aktuálního nekonečna (tradiční pojem limity v klasické analýze je totiž založen na pojmu nekonečna pouze potenciálního, jak je ostatně dobře patrné ze samotné definice limity posloupnosti či funkce), existují rovněž radikální kritiky např. neeukleidovských geometrií, spojené s platónsky chápanou ontologií matematiky, které pocházejí z pera dalšího českého velikána, logika Pavla Tichého. Všechny uvedené pokusy mají společné pouze jedno – totiž nějakou filosofii v pozadí, která ovlivňuje východiska snahy o obranu matematiky, což se zvláště zřetelně projevuje např. v případě intuicionismu, ale samozřejmě i jinde – jistě ne náhodou je celá Vopěnkova tvorba za posledních několik let, nepočítáme-li do toho i dobu jeho práce na Rozpravách s geometrií, především filosofickou reflexí okcidentální filosofie a idejí, stojící v pozadí vývoje evropských věd; podobně třeba i Tichý vychází při své kritice neeukleidovských geometrií ze zcela jednoznačného filosofického názoru.

Jestliže se tedy matematika i logika jeví v rámci jich samých jako obrovská, stabilní a věčná pyramida vycházející z několika základních axiomů a dokazující z nich všechny své poznatky – tak se matematika může jevit např. „z vnitřku“ teorie grup či teorie množin, logika „z vnitřku“ predikátového kalkulu – potom vnější pohled ukazuje neadekvátnost některých filosofických předpokladů, které rozlehlou pyramidu nutně podepírají ze všech stran, jíž se explicitního potvrzení dostalo nakonec i v rámci formálních systémů, přesněji řečeno v rámci důkazu omezení, která jsou na ně nutně, z jejich vlastní povahy, kladena.

Cílem tohoto pojednání je ukázat jistou spojitost filosofie se základními charakteristikami chápání matematiky jako uzavřeného systému, přiblížit některé netriviální výsledky, kterých bylo dosaženo v oblasti logiky a matematiky (přesněji řečeno v rámci metalogiky s důsledky pro logiku a matematiku), čímž se odhalí neudržitelnost Hilbertovského pojetí pojednávaných vědeckých disciplín a totální zhroucení ambiciózního programu jejich výstavby. Konečně bude představena – v hrubších rysech – tomistická teorie matematiky a jako její moderní důsledek formální kvalitativní teorie přirozených čísel, vybudovaná právě na poznatcích tomistické kosmologie. Samostatná druhá část pojednání bude věnována pouze logice, jejímu předmětu a povaze, tak jak je chápána v tomistické filosofii. Užitečné rozpravy o krizích matematiky Jiřího Syrovátky byly publikovány v Distanci pod názvem Metafyzické problémy matematizace, velice pěkným pojednáním o vlivu vlastních filosofických přesvědčení na formulování vědeckých hypotéz je článek Miloše Lokajíčka Jak se podílely přírodní vědy a filosofie ve 20. stol. na poznávání světa?, který byl otištěn rovněž v Distanci. Vynikající publikace s velmi širokým záběrem pocházejí z pera Petra Vopěnky, jehož Rozpravy s geometrií vyšly nedávno v souborném vydání pod názvem Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci, základů teorie množin se týká kniha Podivuhodný květ českého baroka a bližším přiblížením idejí alternativní teorie množin od stejného autora je pojednání Meditace o základech vědy. Budeme ovšem vycházet především z knih italského logika Carlo Cellucciho Le ragioni della logica a Filosofia e matematica a z autentických výsledků práce italských tomistických logiků.

Hilbertův program

Bezesporu geniální a mimořádně vlivný německý matematik David Hilbert zastával jasně formulované a explicitní pojetí matematiky, které se stalo paradigmatem její výstavby a na jejímž rozvoji má Hilbert spolu s některými svými spolupracovníky, z nichž se všichni mohou počítat mezi významné matematiky 20. století, mimořádné zásluhy. Je zajímavým historickým faktem, že stejné požadavky, které mnohem později bude klást Hilbert na množiny axiomů, formuloval před ním jiný významný němec, filosof Immanuel Kant - jeho pojetí axiomatiky musíme ovšem jednak chápat v rámci jeho aprioristického výkladu poznání, a navíc jde o pojetí konkrétní, jak vyjde najevo v porovnání s pojetím Davida Hilberta, které budeme nazývat pojetím abstraktním. V jistém smyslu je Hilbertova základní myšlenka velmi, řekněme, rozumná a přitažlivá, stojí ovšem opět na sporných filosofických předpokladech, kterými je jednak neudržitelný metodologický monismus (jeho neudržitelnost je odvoditelná z analogického pojmu vědy, neboť každá věda a s ní její metodologie je určena svým předmětem; nelze tedy stanovit a priori metodologii, která by byla závazná pro všechny vědy), a s tím úzce spjatý metodologický redukcionismus. Hilbert uvažoval asi takto: protože v principu je možné utvořit o předmětu každé vědy (potenciálně) nekonečně velký soubor pravdivých tvrzení, který je jistě těžko uchopitelný a se kterým se v praxi obtížně pracuje, je mnohem výhodnější nalézt skupinu obecných tvrzení, která bude konečná a která bude všechno vědění o příslušném předmětu zájmu té které vědy obsahovat potenciálně, totiž tak, že ustanovíme-li nějaké odvozovací pravidlo, můžeme z nich všechna pravdivá tvrzení odvodit. Takto formulovaný záměr zní velmi lákavě a nijak konfliktně, jenže Hilbert jde mnohem dále, jak se ukazuje např. v jeho korespondenci s jiným významným německým matematikem a logikem, Gottlobem Fregem; Hilbert zde totiž píše jednoznačně:

You write: „From the truth of the axioms it follows that they do not contradict one another”. I was very interested to read this particular sentence of yours, because for my part, even since I have been thinking, writing and lecturing about such matters, I have been accustomed to say just the reverse: if the arbitrarily posited axioms are not in mutual contradiction with the totality of their consequences, then they are true – the things defined by axioms exists.Hilbert vlastně říká, že vezmeme-li libovolnou množinu axiomů (tj. tvrzení, která jsou evidentní a nedokazují se), a stanovíme pro její vlastnosti některé požadavky, potom splňuje-li je, jsou všechny její důsledky pravdivé, a dokonce samotné axiomy vyjadřují existující věci (body, přímky, plochy atd.). To je jedním ze znaků přílišného symbolismu – matematika se redukuje na syntax, na manipulaci se symboly podle nějakých předem určených pravidel. Navíc – právě na rozdíl od Kanta – nejsou podle Hilberta vlastně ani axiomy, ani v nich použité termíny (myslíme třeba termín „bod“, „přímka“ atd.) nijak svázány s významy, jsou bezobsažné. Jinými slovy – na začátku máme primitivní termíny, které nemají žádný význam, a primitivní výroky, které nemají žádnou pravdivostní hodnotu; všechny ostatní termíny definuje prostřednictvím termínů primitivních (např. trojúhelník definujeme jako průnik tří rovin), současně všechny ostatní výroky získáme pouze a jen odvozením z výroků primitivních (axiomů). Abstraktnost tohoto pojetí je evidentní a vyjde na povrch ještě více, uvědomíme-li si, že právě bezobsažnost primitivních termínů je základem toho, že je můžeme „naplnit“ v podstatě čímkoli, za jediného předpokladu, totiž tehdy, jestliže každé takové „naplnění“ splňuje axiomy. Tak např. můžeme v případě eukleidovské geometrie interpretovat primitivní termíny prostřednictvím uspořádaných n-tic čísel, které splňují všechny axiomy, takže se jedná o interpretaci eukleidovské geometrie; všechny dokázané věty systémy musí být v této interpretaci pravdivé (a také skutečně jsou). Ale podobně, jak říká sám Hilbert, můžeme primitivní geometrické termíny interpretovat jako stoly, židle a džbány piva. Zde je již charakteristický všeobecný (tj. nejen v rámci matematiky) metodologický redukcionismus – jazykem přírody je jazyk matematiky (a jen on) a pro úspěšnou vědeckou práci v podstatě stačí nalézt vhodný axiomatický systém, interpretovat jeho primitivní termíny prostřednictvím základních předmětů zájmu té které vědy a splňuje-li interpretace axiomy, máme jistotu, že všechny odvozené teorémy budou pravdivé (v rámci této ideje poměrně úspěšně funguje matematická, či možná lépe klasická, Newtonovská mechanika, která je v podstatě kompletně odvoditelná z tří Newtonových zákonů, a tak se v jejím případě jedná, více než o fyziku, o velmi obtížný druh matematického cvičení).

Jak bylo řečeno výše, klade Hilbert na množinu axiomů tři zásadní požadavky (jenž odpovídají požadavkům, které na axiomy kladl Kant), totiž požadavek bezespornosti (koherence), úplnosti a rozhodnutelnosti; zdaleka nejdůležitější je první požadavek, a to nejen z toho důvodu, že sporná teorie je bezcenná – Hilbert říká doslova, že jediná kontradikce ve formálním systému je jako jiskřička ohně v sudu se střelným prachem -, neboť z kontradikce je možné odvodit cokoli, ale u Hilberta zvlášť proto, že u něj požadavek bezespornosti splývá s postačující podmínkou pravdivosti. Úplnost vyžaduje, aby každý pravdivý výrok teorie byl také dokazatelný z jejích axiomů, a konečně podle posledního z požadavků musí existovat efektivní procedura, umožňující rozhodnout, zda pro libovolné tvrzení teorie existuje, či neexistuje její formální důkaz pouze z axiomů této teorie. Jistota matematiky, její nejzřetelnější atribut, se nepřímo zakládá na smyslové intuici a přímo na pojmu koherence systému axiomů. Jenže ne všechny pojmy matematiky jsou takto intuitivně zřejmé, totiž nějakým způsobem vycházející z čisté sensibilní a intelektuální intuice; existují totiž i takové, které se podobné zkušenosti jednoznačně vymykají – a to jsou všechny matematické pojmy související s nekonečnem. Hilbert proto rozlišuje finitní a infinitní matematiku, přičemž finitní matematika je pro něj naprosto jistá a její tvrzení mají nějaký obsah – nazývají se proto reálnými tvrzeními; na druhou stranu infinitní matematika takto bezprostředně jistá není, a navíc její tvrzení jsou v pravém slova smyslu bezobsažná, prázdná – nazývají se proto ideálními tvrzeními. Nicméně finitní matematika tvoří pouhou část infinitní matematiky, která prokazuje svou nespornou užitečnost např. tím, že umožňuje výrazně zjednodušit a zkrátit mnohé matematické důkazy. Jestliže si ovšem nemůžeme být jistotou závěrů infinitní matematiky tak bezprostředně jistí jako v případě matematiky finitní (z rozumové intuice a koherence), musíme její bezespornost dokázat, a to pouze prostřednictvím matematiky finitní; jinak nebudeme mít nikdy zaručeno, že přidáme-li k bezesporné finitní matematice infinitní axiomy, nedospějeme někdy ke sporu. Proto Hilbert formulovat tzv. program koherence, jehož požadavky snadno vyjádříme v následujících bodech:

1. Je třeba formalizovat infinitní matematiku prostřednictvím nějakého (vhodného, tj. obsahujícího alespoň minimum aritmetiky) formálního systému S.

2. Musí se dokázat bezespornost systému S v rámci finitní matematiky.

Požadavek formalizace vychází ze skutečnosti, že tvrzení infinitní matematiky jsou prosta významu a důkaz v rámci finitní matematiky je požadován právě pro její jistotu; důkaz koherence S musí v důsledku výše řečeného být vyjádřen reálným tvrzením, tj. jak říká Hilbert: „… pro důkaz koherence [rozumí se systém S] musíme pouze dokázat, že v žádném důkazu z našich axiomů nemůže vyplývat jako konečná formule 0 ? 0, tj. že formule 0 ? 0 není dokazatelná.“ Hilbert rovněž formuloval tzv. program zachování (il programma della conservazione), dá se ale snadno ukázat, že oba programy jsou ekvivalentní, takže se budeme věnovat pouze prvnímu z nich.

David Hilbert předestřel grandiózní program výstavby matematiky, na kterém usilovně pracoval s pomocí mladých matematiků Wilhelma Ackermanna a Jacquese Herbranda, a dokonce se podle vlastních slov blížil ke konečnému výsledku. Bohužel pro něj a pro celé hilbertovské pojetí matematiky (které můžeme charakterizovat analogicky s fyzikou jako uzavřené pojetí, protože jednotlivé axiomatické systémy jsou uzavřené v tom smyslu, že si mezi sebou nepředávají informace a veškerý rozvoj v jejich rámci je v podstatě jen uváděním do explicitní podoby všech informací, které již před tím byly implicitně obsaženy v axiomech), již v roce 1930 ohlásil Kurt Gödel – a shodou okolností právě na sympóziu v Kantově a Hilbertově rodném městě Königsbergu – svou první slavnou větu o nerozhodnutelnosti.

Pád Hilbertova programu

Motto: Gödelův výsledek o neúplnosti tudíž vyvolává současně hrdost i pokoru: hrdost nad tím, jak daleko může jít lidské poznání – až tak daleko, že dokáže poznat své meze – a poznání mezí by zase mělo být zdrojem pokory.

Antonín Sochor: Klasická matematická logika

Podle Hilbertova prvního požadavku programu koherence je nutné formalizovat infinitní matematiku v rámci nějakého formálního systému S, který bude mít klasické vlastnosti kladené na tyto systémy, tj. koherenci, úplnost a rozhodnutelnost. A právě brněnský rodák Kurt Gödel (1906 – 1978) dokázal, že každý takový formální systém je neúplný, tj. existuje v jeho rámci pravdivá propozice, která v něm ovšem není dokazatelná. Navíc pro příslušný systém S platí, že je rovněž nerozhodnutelný, takže neexistuje efektivní mechanická procedura, s jejíž pomocí může matematik (či počítač) rozhodnout pro každou formuli systému, zda je dokazatelná, či nikoli. Nejenom, že se první z Hilbertových požadavků ukázal jako principiálně nesplnitelný, ale navíc Gödel dokázal, že v každé příslušné formalizaci infinitní matematiky je tvrzení vyjadřující kanonicky koherenci této formalizace nedokazatelné. Ovšem neudržitelnost hilbertovského formalistického chápání povahy matematiky se hroutí i na jiných místech – pro Hilberta totiž je postačujícím kritériem pravdivosti axiomů jejich koherence, což můžeme vyjádřit pomocí známého tvrzení, podle kterého má koherentní systém výroků prvního řádu nějaký model (takovou interpretaci, v níž jsou všechna tvrzení pravdivá); ovšem Skolem dokázal, že některé systémy výroků teorie prvního řádu mají neisomorfní modely, a navíc je možné prokázat, že pro každý formální systém S existuje takové rozšíření, v němž je možné dokázat nepravdivou propozici. Jistou nadějí by se pro Hilbertův program mohl zdát nějaký formální systém II. řádu, např. aritmetika, zvláště když pro ni platí Dedekindův teorém, podle kterého je kategorická, tj. všechny její modely jsou isomorfní; nicméně i pro ni a obecně pro všechny logické systémy druhého řádu platí, že pro ně neexistují, a nemohou existovat množiny pravidel, prostřednictvím kterých by v nich bylo možné dokázat libovolné tvrzení.

Není samozřejmě možné interpretovat uvedené výsledky jako konec matematiky a logiky – ostatně bylo by to evidentně mylné, protože obě vědy se velmi razantně rozvíjejí dál, dál se vyučují na universitách, jazyk matematiky je i nadále nejdůležitějším písmem, ve kterém vědci zapisují fyzikální vlastnosti materiálního světa kolem nás, jazyk a metody logiky si jednoznačně vydobyly své neoddiskutovatelné místo i v rámci filosofické reflexe. Nicméně se zhroutil Hilbertův program výstavby matematiky – a zdá se, alespoň podle některých jeho reakcí, že on sám si skutečný dosah Gödelových teorémů do své smrti neuvědomil, či si ho odmítl uvědomit; zhroutil se na tom nejcitlivějším místě, do kterého německý matematik vkládal největší část své důvěry. Hilbert totiž považoval finitní matematiku za naprosto jistou (právě jistota je tím atributem, který je pro matematiku – asi zdánlivě – charakteristický; totiž jistota jak samotných základů, tak i všech odvozených tvrzení), a to na základě dvou kritérií: nepřímým kritériem jistoty mu byla sensibilní a intelektuální intuice, postačujícím kritériem potom koherence množiny axiomů: když totiž David Hilbert hovoří o pravdě, musí mu být dobře rozuměno; pro něj je pravda prostě a jednoduše koherence, čili vzájemná bezespornost množiny primitivních výroků, kterým říkáme axiomy.

Program koherence, Hilbertův životní sen, na jehož splnění tak usilovně pracoval, se ukázal jako principiálně nesplnitelný. Odtud se znovu vynořuje jedna základní otázka, které je pro matematiku zcela fundamentální: jestliže chceme nadále tvrdit, že matematika je věda obsahující pouze absolutně jistá tvrzení, jakým způsobem, jakými prostředky chceme tuto její jistotu vysvětlit, nějak pevněji a precizněji uchopit a v konečném důsledku nepochybně ustavit? Prostřednictvím metamatematiky, která pro Hilberta byla právě nástrojem precizní explikace pojmu jistoty matematiky, prostřednictvím zkoumání samotného pojmu důkazu, konzistence, bezespornosti atd., již postupovat nemůžeme; ta nás dnes totiž často odkazuje na samotnou víru: věříme, že je aritmetika bezesporná (ale dokázat to nemůžeme), stejně tak jsme přesvědčeni, že paradoxy plynoucí z připojení axiomu výběru k teorii množin jsou mnohem víc vyváženy jeho bezespornou užitečností: bez něj bychom se neobešli již při jednodušších důkazech. Strategie matematiků a logiků tváří v tvář výše uvedeným výsledkům jsou různé: někteří je sice přijímají, nicméně se odvolávají na možnost využití logiky druhého řádu, pro níž v důsledku isomorfismu všech jejích modelů neplatí, že má modely navzájem různé; tuto cestu zhruba sleduje Hintikka. Samotný Gödel se pokusil hledat základ jistoty matematiky v čistě inteligibilní intuici prostřednictvím filosofického systému jiného německého matematika, učitele Martina Heideggera, Edmunda Husserla. Jeho karteziánské uchopení problému jistoty lidského poznání a jeho metodické vyhrocení směrem k transcendentální epoché se zdá být vhodnou metodou – a v jinak z noetického hlediska dogmatickém filosofickém prostředí 20. století vlastně jedinou alternativou – pro hledání jistoty, pro hledání nějakého nepochybného, pevného základu, na němž by bylo zase možné vystavět pyramidu matematického myšlení, jejíž základnou bylo tolik otřeseno. Podobnou cestou se vydal i český matematik prof. Petr Vopěnka, jehož alternativní teorie množin je nepochybně nesmírně cenným přínosem českého matematika do pokladnice lidského vědění; a není náhodou, že v jeho systému hrají roli takové „podivné“ entity, jakými jsou polomnožiny či množiny kalné (polomnožiny jsou neostrá seskupení objektů, zatímco kalné množiny jsou takové množiny, na nichž se jev neostrosti ukazuje v podobě nějaké polomnožiny). Proti Gödelovým pokusům ustavit jistotu základních prvků matematiky na podkladě fenomenologické filosofie přesvědčivě argumentuje Carlo Cellucci; avšak snadno najdeme další argumenty směřující např. proti vhodnosti pojmu inteligibilní intuice, na níž se má matematika podle německého matematika zakládat. Stačí zvážit některé z monster, jak jim říkal Poincaré, jejichž vlastnosti je sice možné precizně matematicky odvodit, nicméně celým svým bytím se vzpírají jakémukoliv intuitivnímu zachycení. Uvažme např. „obludu“, kterou objevil český matematik a kněz Bernard Bolzano v sensoriu Dei a jejíž objev se zdráhal sám uveřejnit: jedná se o funkci, která ač je spojitá na uzavřeném intervalu, přesto v něm nemá v žádném bodě derivaci; důkaz jako první podal jiný vynikající český matematik Vojtěch Jarník a můžeme ho nalézt i v jeho nepřekonatelné učebnici diferenciálního počtu. Pro bližší představu – grafu funkce, který je na nějakém intervalu nepřerušenou čárou (což znamená, že je v tomto intervalu funkce spojitá), je snadné ke každému bodu na této křivce nakreslit jeho tečnu – graf spojité funkce totiž nemá tečnu jen v extrémních bodech, v nichž je např. „špičatý“. Jestliže je tedy graf Bolzanovy funkce spojitý, a přesto nemá v žádném bodě derivaci, je to, jako by byl „špičatý“ ve všech svých bodech: věc naprosto nepředstavitelná a nezobrazitelná. Jinou hezkou „obludou“ je Brouwerova mapa: veškerá naše rozumová intuice nám jasně říká, že nakreslíme-li na mapě tři státy, nemohou se v žádném myslitelném případě všechny tři dotýkat ve všech bodech svého obvodu. Přesto je možné zkonstruovat tzv. Brouwerovu mapu, v níž se dá dospět k situaci, kdy se skutečně tři - původně nesousedící oblasti – budou dotýkat všechny tři navzájem ve všech bodech svého obvodu. Je to nepředstavitelné, odporuje to všem našim rozumovým intuicím – a přesto to je možné zkonstruovat. Oba dva výše uvedené příklady – a bylo by snadné přidat mnohé další - jednoznačně ukazují, že zkoušet vystavět jistotu matematiky na rozumové intuici je neprůchodná alternativa.

Nicméně se ukazují další důvody, pro které je vhodnější upustit od představy – která pochází ze samotného starověkého Řecka – matematiky jako absolutně jisté a nehybné, neměnné stavby, nebo poněkud přesněji řečeno, ukazují se přesvědčivé důvody, pro které musíme opustit samotnou koncepci matematiky jakožto uzavřeného systému. Ruku v ruce s tím se musíme vzdát i představy metodologického redukcionismu v matematice (Hilbertův metodologický monismus odmítáme jednak poukazem na Gödelovy věty o neúplnosti, a především s odvoláním se na analogický pojem vědy a její metody, který ze své povahy nesnese uniformní zúžení na jediný – abstraktně matematický, a tudíž obsahově vyprázdněný – aspekt; to je, mimo jiné, pro vědu a samotného člověka stejně nebezpečné jako marxismus a všechny jeho možné varianty), který spočívá – nejčastěji – v redukci celé matematiky na Zermelo-Fraenkelovu teorii množin s axiomem výběru. Nejenom že si bezesporností tohoto systému nemůžeme být jisti, ale současně svádí k zapomínání na funkci matematiky jakožto modelu: tak např. Zermelovo ztotožnění přirozených čísel s množinou množin, kde jednička je ztotožněna s množinou obsahující prázdnou množinu, dvojka s množinou obsahující množinu obsahující prázdnou množinu atd. vede k nutnosti přiznat např. jedničce vlastnost nebýt podmnožinou řekněme devítky – což si každý snadno sám ověří; zatímco ztotožníme-li přirozená čísla s podobným systémem von Neumannovým, musíme v tomto případě na druhou stranu jedničce uvedenou vlastnost odepřít, tj. tvrdit její náležení do devítky. Trochu to připomíná současný stav v modální logice, kdy se základní logické konstanty nutnosti a možnosti za konstanty jen prohlašují, protože jejich interpretace je vlastně dána systém od systému; podobně se ukazuje jistý prvek libovolnosti i v matematice.

Dalším pozoruhodným aspektem chápání matematiky jako uzavřeného systému je jeho schopnost vnášet do matematického uvažování jistý prvek schizofrenie, který popisuje – třebaže v poněkud jiné souvislosti – i P. Vopěnka ve své publikaci o nestandardní analýze Calculus Infinitesimalis: matematici dnes nesměji používat v úvahách o derivacích, diferenciálech, atd. aktuálního nekonečna (chápejme to tak, že místo toho, aby jednoduše uvažovali např. výraz 1/aktuální nekonečno, musí uvažovat limitu výrazu 1/x pro x jdoucí k nekonečnu). Vopěnka však říká, že všichni matematici ve skrytu svých pracoven dále pro jednoduchost uvažují o aktuálním nekonečnu a všechny výsledky, kterých takto dosahují, potom pracně „překládají“ do jazyka současné ?,?-matematické analýzy. Stejně tak by se zdálo, že přijmeme-li koncept uzavřeného systému, kde ona uzavřenost odkazuje k absolutní soběstačnosti matematické teorie vzhledem ke svým axiomům, tak v praxi matematikové pracují zcela jinak. Carlo Celluci často uvádí příklad jednoho z významných důkazů posledních let 20. století, slavný Wilesův důkaz Fermatovy věty, kteréžto aritmetické tvrzení bylo dokázáno prostřednictvím důkazu některých vlastností eliptických křivek; čili nikoli pouhým mechanickým odvozováním z axiomů aritmetiky, ale prostřednictvím jiného – evidentně neuzavřeného – axiomatického systému.

Idea matematiky jakožto světa naprosto jasných, pevných a neměnných pravd se zrodila ve starověkém Řecku, ostatně podobně jako celá západní věda a filosofie. Třebaže si matematika prošla dlouhým vývojem, tento základní aspekt matematiky přetrval v průběhu staletí a je vtělen nejen do současné matematiky jako takové, ale hlavně a především je pevně zakotven v myšlení mnohých matematiků, kteří se pokoušejí nějakým způsobem obhajovat alespoň nějaké základní myšlenky Hilbertova grandiózního programu. Pojem důkazu, který tvoří základ veškeré matematiky, a je vlastně hlavním nástrojem práce každého matematika, prošel rovněž dlouhým vývojem od Euklida přes Descarta až do podoby dnešních precizně propracovaných a jemných teorií. Matematika je vědou kompletně zapsanou v nějakém umělém jazyce, protože – jak říká Gottlob Frege ve své pro vývoj logiky a analytické filosofie nesmírně důležité práci z roku 1879 Begriffsschrift (Pojmové písmo) – pro ověření správnosti řetězce úsudků potřebujeme prostředek, který nebude tak fundamentálně nejednoznačný, jakým je přirozený jazyk. Sám Frege navrhl zajímavý jazyk, který je předchůdcem dnešní predikátové logiky a jehož prostřednictvím se ve svých matematických pracích vyjadřuje. Ač ve své době nebyl pochopen, a dokonce se mu nepodařilo nikdy získat řádnou profesuru na universitě v německé Jeně, dnes se s jeho myšlenkou o formalizaci matematiky ztotožňuje každý matematik; a dokonce (zdánlivé) úspěchy takového přístupu ovlivnily některé myslitele, jakým byl např. Rudolf Carnap, k pokusům nahradit ve všech úvahách, nejen vědeckých, ale i filosofických, přirozený jazyk nějakou formou jazyka umělého. Dokonce i dnes jsou mnozí filosofové přesvědčeni, že filosofii zachrání pouze formalizace a velkým filosofickým výkonem je dnes rozuměno kompletní přepsání nějakého tradičního filosofického důkazu do určitého formálního jazyka – stačí třeba srovnat velké množství publikací zabývajících se formalizací tradičních Tomášových důkazů Boží existence, ještě častěji se takto „přepisuje“ Anselmův ontologický důkaz.

Proč se tolik myslitelů vydává touto cestou? V pozadí bude jistě přesvědčení sdílené s Fregem a ostatními matematiky, že totiž formalizovaný důkaz umožní přivést závěr z nějakých premis k jistotě právě intersubjektivní povahou formalizovaného důkazu bez nebezpečí nejednoznačností, nutně spojených s přirozeným jazykem. Takto chápaný důkaz je jedním z důvodů přesvědčení matematiků o jistotě jejich vědy: většina si totiž otázku jistoty samotných axiomů nepřipouští, protože se ve svém výzkumu pohybuje ve vzdálených oblastech matematiky, ve kterých taková otázka není podstatná: vědec zabývající se teorií grup prostě vyjde z jednoduché množiny axiomů shrnující podstatné vlastnosti matematických jsoucen známých jakožto grupy a prostřednictvím definic, již dokázaných vět a lemmat se postupně dopracovává k dalším a dalším větám. Takto chápaný důkaz je dnes natolik zažitý, že např. tomisté užívající sylogistické metody dokazování jsou většinou v opovržení, a pokud se vůbec někde o sylogismech hovoří, tak jen v souvislosti s jejich údajnou náležitostí do predikátové logiky, a případně jako o vhodném materiálu formalizace; ostatní vědy často k matematice „otrocky“ vzhlížejí jako k paradigmatu vědecké práce.

Známý odpůrce formalismu současné logiky Pavel Tichý krásně poznamenává (v jiné souvislosti): „Teorie, která je sexy, už vůbec není vnímána jako teorie, ale jako jistý druh zákona myšlení, kterým jsou ostatní teorie poměřovány“. Analogicky je formalizovaný důkaz chápán jako prostředek dosažení jistých závěrů, jako prostředek jediný, protože intersubjektivně testovatelný a jednoznačný – a protože je formalismus sexy? Přijměme proto na chvíli, že se Hilbertův program podařilo naplnit a že o všech axiomech víme jistotou, že jsou pravdivé – tudíž všemi jejich důsledky by měla být rovněž pravdivá a jistá tvrzení. Ovšem, jak poznamenává David Hume ve svém díle A Treatise of human nature, jistota zákonů a pravidel demonstrace nemůže nikdy zajistit jejich bezchybnou aplikaci, a proto nemůže ipso facto zajistit i jistotu závěrů. A dokonce i současná matematická praxe hovoří trochu jinak, než jak by se to mohlo na první pohled zdát; P. Kitcher ve své knize The nature of mathematical knowledge říká na straně 40: „… mnoho z nejlepších současných matematiků si dělá starosti se skutečností, že některé z důležitých teorémů publikovaných v posledních dvou desetiletích mohou mít důkazy obsahující až dosud neodhalené chyby.“ Jak je to ale možné? Třebaže – budeme-li souhlasit s Humem – není samotnou formalizací důkazů zajištěna bezchybnost všech důkazů, tak právě intersubjektivnost takové formalizace je základem možnosti snadné kontroly všech důkazů, jak autorem samým, tak i nějakým jiným matematikem. Navíc mnohé důkazy se podařilo formulovat více matematikům dokonce i více způsoby. Jistě, to vše je pravda. Jenže principiálně není možné každý důkaz kontrolovat, a to jednak protože je jich příliš mnoho a každý rok se generují tisíce a tisíce nových matematických vět, a hlavně, vezmeme-li libovolné přirozené číslo n, potom pro něj existuje nekonečně mnoho důkazů takových, jejichž délka je větší než n (myslí se délka posloupnosti symbolů, z nichž je důkaz složen). Ovšem nejenom to – většina důležitých důkazů posledních let je natolik obtížná, že je na světě jen hodně málo lidí, kteří jsou v principu schopní je ověřit (budou-li ochotni přerušit svou práci a mnoho měsíců či let strávit ověřování takového, třebas i důležitého výsledku), a proto se také mnoho výsledků posuzuje podle předchozích očekávání; navíc jsou takové důkazy nesmírně dlouhé. Např. obě Burnsidovy hypotézy o konečných grupách mají obě dohromady kolem 1.000 stránek, celkový důkaz Ramanujanovy hypotézy by pravděpodobně obsahoval dokonce dvojnásobek stránek a důkaz hypotézy o klasifikaci jednoduchých konečných grup, výsledek mnohaleté práce mnoha matematiků, je roztroušen v zhruba 500 článcích o celkové délce asi 15.000 stránek!

Zdánlivým východiskem z nouze se může zdát uplatnění pomoci počítačů, zvláště po masivním nárůstu jejich výkonu v posledních letech. Dokonce již existují důkazy provedené právě jejich prostřednictvím, jakým je třeba Appelův a Hakenův důkaz teorému čtyř barev, a další. Co není schopen provést člověk, jemuž i základní početní operace trvají v porovnání i se slabým počítačem nesmírně dlouho, by mohl provést počítač: prostě mu zadáme postupné ověřování všech vět, které již známe, a dokonce nejen to. Necháme ho generovat i věty další, dosud neznámé, a budeme se těšit na nečekané a úžasné výsledky, které potom mohou nalézt uplatnění i v jiných vědách, zvláště ve fyzice – je přece dobře známé, že kdyby se Einstein neseznámil s vznikající matematickou teorií tenzorů, možná by na svou teorii relativity nepřišel; podobná věc platí pro Heisendberga a teorii matic – kdo ví, k jakým důsledkům fyzikové dojdou díky novým matematickým nástrojům a teoriím!

Jistě, nesporná užitečnost počítačů se dotýká i jejich užití v matematice. Ovšem i zde narážíme na jeden zásadní problém – jednak každý počítačový program je v jistém smyslu matematickou strukturou (neztotožňujme program a jeho konkrétní provedení), která může obsahovat chyby. Jsou-li mnohé matematické důkazy velmi dlouhé, o to více to platí i pro realizace počítačových programů zapsané v nějakém konkrétním jazyce, nemůžeme nikdy získat jistotu, že taková realizace neobsahuje chybu. Snaha zapojit do kontroly počítač vede evidentně k nekonečnému regresu a lidský „kontrolor“ snadno tu nějakou chybu přehlédne, tu si ji sám neuvědomí. Proto jeden z autorů realizace důkazu významného matematického tvrzení H. C. W. Lam v 12. čísle časopisu The Mathematical Intelligencer z roku 1990 říká v práci nazvané How reliable is a computer-based proof, že na důkazy dosažené prostřednictvím počítače bychom měli hledět jako na výsledky ostatních experimentálních věd a připojovat k nim podrobný popis metodologie, kterou se k výsledku došlo.

Navíc existují podstatné metalogické postuláty, podle kterých ani v principu nemůže existovat počítačový program, který pro libovolnou matematickou formuli v konečném čase rozhodne, zda je z nějaké množiny axiomů dokazatelná (napsáním jejího důkazu), případně že dokazatelná není. Pro jednoduché systémy, jakým je třeba výroková logika, není těžké dokázat, že takový „ověřovací a generační“ program existovat může, ale výroková logika je systémem natolik jednoduchým a „hrubým“, že možná existence uvedeného programu nepřináší ani matematice, ani logice či filosofii, případně lingvistice, žádný užitek. Stačí ale již poměrně málo složitější systémy s větší expresivní silou, a tudíž zajímavější a užitečnější, a již pro ně výše uvedené omezení platí – na jednu stranu bohužel, na druhou stranu alespoň matematikové nepřijdou o svá místa na universitách.

Výsledkem uvedených úvah je proto jednoznačný závěr: i kdyby nakrásně došlo k realizaci Hilbertova programu koherence a všechny axiomy matematiky byly pravdivé a především jisté (pravdivost a jistota jsou dvě odlišné charakteristiky), přesto to nezaručuje jistotu všech důsledků, z nich odvozených. Neznamená to vůbec, že všechny matematické věty jsou nejisté, nebo dokonce nepravdivé, znamená to pouze jediné: samotná formalizace důkazů není všemocným lékem, všemocným garantem a všemocným prostředkem přenesení jistoty od premis k závěrům, a rovněž samotná axiomatizace nějaké teorie není zárukou její jistoty. Samozřejmě, že např. některé filosofické důkazy lépe vyniknou po své formalizaci, která bezprostředněji vyjeví jejich logickou strukturu, a tím vztah premisy-závěr. Nicméně to neznamená, že důkazy provedené v přirozeném jazyce jsou „méně“ důkazy, že jsou v porovnání ke svým formalizovaným protějškům méně hodnotné, či méně konklusivní. A už vůbec to neznamená, že metafyziku odstraníme logickou analýzou jazyka, či nastolením formálního jazyka, jak by to rád viděl Carnap a jiní pozitivisté: platný argument je totiž materiálně prvotní své formalizaci a samotná formalizace na platnosti argumentu nic nepřidá.

David Hilbert významně ovlivnil chápáni matematiky jak svým pojetím axiomatického systému jako systému uzavřeného, svým redukcionismem (redukce celé matematiky na jediný systém, např. na Zermelo-Fraenkelovu teorii množin s axiomem výběru), svou absolutní vírou jak v metody matematiky, tak i v jistotu základních axiomů. Rovněž jeho abstraktnímu chápání primitivních termínů a výroků spojených s implicitními definicí prostřednictvím samotných axiomů našlo širokou odezvu nejen mezi matematiky, třebaže tak redukuje matematiku na studium interpretací, umožňuje absolutní anarchii ve vytváření teratologických struktur (Bourbaki) bez jakéhokoliv smyslu a významu, a především neumožňuje vysvětlit efektivnost matematiky v popisu reálného světa. Výše uvedené řádky měly ukázat, že kromě zhroucení Hilbertova programu musí matematika jednoznačně slevit ze svého požadavku absolutní jistoty jak pro své axiomy, tak i pro své resultáty; matematika je tak prostě vědou, která nemůže aspirovat na to, být paradigmatem jistoty, a už vůbec ne na to, být např. měřítkem vědeckosti či sofistikovanosti jiných věd. Naopak musí sestoupit ze svého neprávem obsazeného trůnu královny věd, musí přehodnotit jak svá východiska, tak i své prostředky. To je už ovšem tématem druhého dílu této práce.