Ročník 2003‎ > ‎1. číslo‎ > ‎

Množina

Br. Felix Slouka, OFM

Náš nový bratr Bonaventura OFM je matematik, absolvoval MATFYZ. Když jsem se s ním krátce, poprvé a zatím naposledy setkal, říkal jsem mu o své celoživotní snaze dospět k pravdivému poznání, v souladu s nímž bych pro tu pravdivost mohl dobře žít. I o tom, že v polovině 80. let jsem si za tím účelem sehnal studijní plán MATFYZ, co kdyby pravda byla tam. Matematika se mi zdála pro mou snahu nadějná. V osnovách studijního plánu byly na prvním místě množiny. Koupil jsem si Bodové množiny Eduarda Čecha. Začátek knihy byl oslnivý, ale hned po pár stránkách se můj postup začal zpomaloval, až se úplně a definitivně zastavil pro rozpornost výkladu. Br. Bonaventura se mému vyprávění velice podivil, protože - podle něj - je Čech nejslavnější Čech-matematik. Ještě jsem dodal, že i Jarník je velice slavný, ale to už nás svatá poslušnost oddělila a v oddělení drží doposud. Takže dlužím svému milému bratru vysvětlení.

Kromě toho v článku Fakt v Distanci 3/5 mělo dojít k jistému upřesnění, s nímž se mi už nepodařilo dohnat tiskařský proces. A také jsem tam psal, že by bylo vhodné říci něco o základu, který mají některé kolektivní pojmy v realitě.

A. Spojení

A1. Reálné spojení reálná jsoucna je spojení mf akcident substance a tato substance (např. formální objektivní aspekt pojmu bílá kočka, nebo reálné spojení bělost kočky a kočka jako její vlastník - srov. např. L. NOVÁK, Spor o pojetí predikace a logické paradoxy, Distance 2/5 2002, s. 46), reálné spojení prvky takových spojení skrze substanci (např. obecně přirozenost člověka, nebo individuálně Descartes a všechno, co patří k jeho individuální existenci - srov. J. FUCHS, Filosofie, Úvod do filosofie - 1. Filosofická logika, Praha 1997, s. 54 - tedy materiální objektivní aspekt pojmu Descartes), nebo spojení několik substancí skrze jejich akcidenty (např. tři přátelé). Reálné spojení, na rozdíl od reálného vztahu, který může být jeho prvkem, není (tak jako vlastnění a bytí) jsoucnem ani reálným ani racionálním, nýbrž principem: Jsoucno (kromě Jednoho) je prvkem spojení. Spojení není prvkem spojení. Spojení není jsoucno.

Pojem reálného spojení bělost kočky a kočka jako vlastník této bělosti a složený pojem bílá kočka mají týž formální objektivní aspekt (každým jsou distributivně myšlena jednotlivá reálná spojení té bělosti a té kočky), ale odlišný materiální objektivní aspekt (protože k bílé kočce materiálně patří např. i reálný vztah její bělosti k ní).

A2. Racionální spojení (např. spojení některá reálná jsoucna, spojení některá reálná spojení apod.) vzniká tehdy, není-li mezi spojovanými prvky tohoto spojení odpovídající spojení reálné (např. na rozdíl od obecného, distributivně myšleného pojmu bratr pojem bratři jako toliko „logický" (tj. racionální) souhrn členů rozsahu pojmu bratr bydlící v tomto domě - srov. cit. Filosofická logika, s. 69). Někdy je třeba uvážit, jak se prvky racionálního spojení spojují; např. racionální spojení vrána a kočka (k tomu srov. můj článek Vyhněme se úskalím formalismu, Distance 2/2 1999, s. 80n., kde jsem použil pleonasmu „prázdná množina" - viz níže D3; dodatečně se čtenáři omlouvám), racionální spojení (dvě racionální spojení) vrány a kočky, spojení kulatý čtverec (k tomu srov. můj článek Bílé černé a šedé v minulém čísle Distance), pravdivý soud některá kočka není bílá, nepravdivý soud bříza je živočich apod.

A3. Racionální spojení znaků - prvků pojmu v jeho obsahu - je spojením jen analogicky, protože znaky vznikají opačně - abstrakcí, a toto spojení je tak co do svého subjektivního aspektu racionálním jsoucnem s jednou esencí. Např. složený obecný pojem bílá kočka takto není spojením, nýbrž jedním racionálním jsoucnem s jednou esencí. Avšak je jím myšleno (tj. jeho objektivní aspekt udává) reálné spojení, tj. každé takové jednotlivé jsoucno myšlené pojmem kočka (obecný pojem, jímž distributivně myslím jednotlivé kočky: formálně jako takové, materiálně se všemi mf akcidenty), se kterým je reálně spojeno (zde: jímž je vlastněno) jsoucno myšlené pojmem bělost kočky (opět obecný pojem, jímž distributivně myslím bělosti jednotlivých bílých koček), a u formálního pojetí také každé toto jednotlivé jsoucno, které je s prvním spojeno.

Každý soud jako i každý pojem je tak co do svého subjektivního aspektu racionálním jsoucnem s jednou esencí. Např. pravdivý soud některá kočka není bílá není spojením, ale je jedním racionálním jsoucnem. Avšak co do svého objektivního aspektu má jeho základ v realitě (srov. níže A4) ve svém rozsahu např. některou nebílou kočku a některou bílou kočku, nebo každou kočku a každou bělost kočky, nebo dokonce každou kočku a každou bělost.

A4. Pojmem základ je u reálných i racionálních spojení myšleno totéž, co u racionálních jsoucen. Jestliže u spojení mluvíme o tom, že má základ v realitě, myslíme tím to, že každý prvek (mf akcident nebo substance) tohoto spojení je reálným jsoucnem, i když do spojení vstupuje jako prvek nějakého reálného spojení. Je-li tomu jinak, říkáme, že spojení nemá základ v realitě. Jsoucno tedy může být prvkem reálného spojení jakožto prvek jiného reálného spojení. Avšak to, že jsoucno je prvkem reálného spojení nijak nezávisí na tom, zda je nebo není prvkem nějakého racionálního spojení. Má-li spojení základ v realitě, může k tomu jako k podmínce postačující být rozsah pojmu základ i daleko větší než ten, který by byl tvořen právě všemi spojovanými jsoucny. Základ je tedy obecný, nikoliv kolektivní pojem (v případě kolektivního pojmu by nastal nekonečný regres), který pro prvek, jenž je pro spojení relevantní, udává, zda je nebo není reálným jsoucnem.

Reálné spojení má vždy základ v realitě. Prvkem základu v realitě reálného spojení bílá kočka je bílá kočka jakožto kočka a bělost této kočky.

Racionální spojení je buď se základem v realitě, je-li každý z racionálně spojovaných prvků reálným jsoucnem nebo reálným spojením. Je-li tomu jinak, je toto spojení bez základu v realitě, čistě racionální.

B. Kolektivní pojem

Mějme (pravdivé) věty:

Tři bratři jsou/my tři jsme spojeni vztahem přátelství.(1)

Tři bratři jsou/my tři jsme trojice bratří.(2)

Tři bratři jsou/my tři jsme doma.(3)

B1. Slovnímu výrazu tři bratři/my tři je ve větě (1) přiřazen kolektivní pojem, jímž je myšleno reálné spojení; nechť je kontexty určují jako spojení Radim, Tonda a Felix vztahem přátelství. Podle kontextů může být tomuto výrazu přiřazeno nějaké reálné spojení Radim, Tonda a Felix i ve větě (2).

B2. Ve větě (2) a (3) může být podle kontextů uvedenému výrazu přiřazen kolektivní pojem, jímž je myšleno nějaké racionální spojení Radim, Tonda a Felix. Věta (3) tak nemusí být přiřazena kategorickému soudu, ale může znamenat složený (kopulativní) soud (srov. cit. Filosofická logika, s. 133). Výraz tři bratři/my tři jako kolektivní pojem pak slouží jen pro vyjádření (zde) subjektu složeného soudu.

Kolektivním pojmem je tedy myšleno reálné nebo racionální spojení, takže v mém článku Fakt bylo třeba říci, že kolektivní pojem jakožto spojení není co do svého objektivního aspektu jsoucnem, nýbrž principem.

C. Množina (n-tice)

Také množina (co do svého objektivního aspektu) není ani reálným, ani racionálním jsoucnem, nýbrž reálným (A1) nebo racionálním (A2) spojením, protože jde o dílčí případ kolektivního pojmu.

C1. Množina jako pojem pro reálné spojení je užita např. ve větě:

Tato trojice bratří je spojena vztahem přátelství.(4)

C2. Množina jako pojem pro racionální spojení může být užita např. v kopulativní větě:

Tato/Naše trojice bratří je doma.(5)

Tato věta stejně, jako je to možné u věty (3), může být přiřazena kopulativnímu soudu:

Radim, Tonda a Felix jsou doma,(6)

neboli třem soudům/trojici soudů kategorických (jde o čistě racionální spojení tři soudy, kdy každý má základ v realitě).

Radim je doma, Tonda je doma, Felix je doma.(7)

D. Závěry

D1. Zásadní rozlišení mezi C1 a C2 v Bodových množinách chybí.

D2. Protože množina je reálným nebo racionálním spojením několika jsoucen, musí mít aspoň dva prvky, a proto není myslitelný pojem množina s jedním prvkem. Tento údaj v Bodových množinách také chybí. Množinu s jedním prvkem lze ovšem ve výše uvedeném druhém smyslu (ekvivokálně, rozumně?) užívat jako (slovní) výraz pro tento jednotlivý prvek; srov. však níže D3 o nemožnosti užití pojmového. Mají-li dvě množiny společný právě jeden prvek, bylo by možné definovat, že jejich průnikem není množina s jedním prvkem, což je čistě racionální spojení, nýbrž tento prvek.

D3. Má stará havárie s knihou Bodové množiny se ale, pokud si vzpomínám, týkala prázdné množiny a bratr Bonaventura se může pokusit najít v Čechově knize některý, či dokonce v pořadí první tzv. logický paradox, čili větný nesmysl, který se prázdné množiny týká. Prázdnou množinu je totiž možné použít zase jen v uvedeném druhém smyslu tak, že jde o (ekvivokální) slovní výraz pro jednotlivý prvek (nikoliv o pojem tohoto prvku), jímž je nic(ota). Mělo-li by takto dojít k užití pojmovému, bylo by ovšem redukcionistické, protože pojmem prázdná množina je myšleno něco jiného než pojmem nic - viz cit. Bílé černé a šedé. Pojem prázdná množina, podobně jako pojem prázdný svět či kulatý čtverec, je totiž čistě racionálním spojením bez základu v realitě. Stejně tak i pojem průnik dvou množin, které nemají žádný společný prvek je neprávem ztotožňován s prázdnou množinou. Např. Ø Ì A a A ∩ Ø = Ø atd. sice platí v uměle omezeném, zredukovaném prostředí (a jen chvíli, dokud nedojde ke sporu), avšak ne v bohaté, plné a bezrozporné realitě.

D4. Kdyby např. prvkem množiny bylo kromě reálného jsoucna nebo reálného spojení i spojení racionální, jak tomu může být třeba u množiny trojice množin, neměla by ona množina základ v realitě. Když je množina jen racionálním spojením, lze ji jako prvku jiné množiny používat jen velmi obezřetně, protože u vnořené množiny (např. u pojmu Pavel a dvojice Karlových synů) jednak chybí formální rozlišení mezi jejími prvky, čímž jsou jim formální znaky (zde např. Jan, Petr) ubrány, a jednak jim jsou naopak formální znaky přidány (zde tedy Janovi i Petrovi je přidán znak syn Karla). Tím je způsobeno, že kroky úvah, pokud není zaručena nepřetržitá kontrola, nezadržitelně a nedovoleně oscilují mezi pojetím C2 (B2) a C1 (B1), takže stále hrozí nebezpečí logického paradoxu; srov. např. již cit Filosofická logika s. 133n. Pojem množina množin pak jednoznačně patří do téhož oboru jako pojem kulatý čtverec, i když podle (nerealistické) Russellovy teorie typů jde o typ 2.

Pokud bychom chtěli množinu vran a koček, což je racionální spojení bez základu v realitě, myslet pojmem množiny, která základ v realitě má, museli bychom každou vránu myslet jako vránu vlastnící reálný znak a každou kočku jako kočku vlastnící týž znak, takže ona množina by už nebyla množinou vran a koček, ale množinou věcí (nebo živočichů) vlastnících onen znak. Pro množinu n-tice vran a m-tice koček lze takovou úpravu každé vrány a každé kočky jistě provést, ne však pro vránu a kočku obecně. Mohlo by se to nanejvýš stát předmětem zájmu některého sice vzdělaného, leč nemoudrého genového inženýra, který by tím ovšem vrány a kočky (kolektivně) jaksi zlikvidoval (souvisejícímu pojmu přirozenosti by vůbec bylo vhodné v Distanci věnovat podstatně více místa).

D5. Příčinu výše uvedených obtíží vidím v tom, že Bodové množiny a obecně stávající teorie množin u pojmu množiny nezdravě preferují rozsahové poměry a stejně nezdravě opomíjejí obsahovou stránku nejen tohoto pojmu, ale pojmu vůbec.

D6. Avšak ještě horší, než logický paradox, jehož výskyt je ovšem signálem o nekvalitě použité teorie a který každý vidí, je použití téže teorie k učinění nepravdivého závěru, který hned tak vidět není. A týká-li se takový omyl mravní kvality skutku, pak je to vážné.