Metafysické problémy matematizace - díl 2.

Jiří Syrovátka

8) Matematizace jako redukce

„Dovednost matematizovat reálné situace je v podstatě dovedností vytvořit relační systém, který s požadovanou přesností odráží (lépe řečeno modeluje) takovou situaci. Je-li získaný relační systém modelem známé struktury, nalezneme často již hotový postup řešení v teorii této struktury, vopačném případě získáváme podnět k rozvoji této teorie; někdy dokonce vytváříme novou matematickou strukturu. Mnohotvárnosti světa odpovídá strukturálně mnohotvárná matematika.“1 Názory na obsah matematiky se v dějinách matematiky proměňují a vyvíjejí. Ve starověku byla matematika zaměřena na čísla, veličiny a geometrické útvary. Taková představa o předmětu matematiky převážně zůstávala až do 19. století. V novověku se matematické zkoumání zaměřilo na algebru, na analytické vyjadřování geometrických vět. To umožňovalo matematice přenášet interpretace z jedné matematické oblasti do jiné matematické oblasti tak, že se zaměnily termíny anebo dal jiný význam symbolům. Matematika se tak utvářela jako metoda operací smatematickými objekty na základě studia vztahů mezi matematickými objekty. Ve 20. století se matematika proměnila v soubor teorií, z nichž každá studuje souhrn objektů charakterizovaných jen přesně (exaktně) formulovanými vztahy mezi nimi, ale jinak zcela libovolných. Matematika je tak metodou cílevědomého studia různých matematických struktur. „Avšak není žádný univerzální a neomylný způsob řešení úloh: přísná pravidla užitelná pro jakékoliv libovolné situace dosud nebyla nalezena a se vší pravděpodobností ani nalezena nebudou.“ 2 Mnohost situací skutečnosti zůstává vždy v jedinečnosti individuální a obsažná. Matematika je vzhledem ke skutečnosti vždy metodou reduktivního zevšeobecnění strukturních vztahů. „Mnoho lidí chápe matematiku také jako analogii. A mlčky předpokládá, že tato analogie nikdy neselže. Naše dosavadní zkušenost světa nedokázala odhalit žádný fyzikální jev, který by nemohl být popsán matematicky. To však neznamená, že neexistují věci, pro něž je takový popis naprosto nevhodný nebo zbytečný. Spíše platí, že v přírodě musí být objeven systém tak nezvyklý, že se nebude hodit do žádné ze svěracích kazajek, které poskytuje matematika.“3

Vzhledem k uvedenému názoru z prostředí exaktní vědy je možné konstatovat, že exaktní reduktivní metoda přírodních věd se vymezením předmětu a metody zcela určitě nevztahuje na jsoucno jako jsoucno a jeho metafysickou tematizaci. Pokud budeme jsoucno brát v úvahu v jeho existenci a bytnosti, pak je nasnadě, že k něčemu takovému se nemůže vztahovat exaktní reduktivní metodologie, a tak ani fyzika, ani matematika. Přesto na počátku jakéhokoli speciálního vědeckého poznání jsou netematizované, a tudíž předmětem a metodou speciální vědy nedotčené metafysické předpoklady.

9) Z PROSTŘEDÍ PŘÍRODNÍCH VĚD NEMŮŽE BÝT PATRNÉ ZAMLČENÍ METAFYSICKÝCH SOUVISLOSTÍ

a) Metafysické předpoklady exaktního Vědění

Aktivní poznávací činností se zpřítomňuje skutečnost. Takto klasický realizmus vymezuje poznávání jako aktivitu subjektu, přičemž na skutečnosti smysly poznávají to, co je smyslově poznatelné, a rozum poznává to, co je rozumově pochopitelné. Z obojího rozum se vztahuje ke skutečnosti prostřednictvím pojmů. Myšlení probíhá pojmy. Obecné pojmy vnášejí do mysli skutečnost. Rozum o skutečnosti soudí spojováním pojmů v soudech. V logických soudech rozum přiřazuje subjektu predikát. Se skutečností se setkáváme jako s jednotlivinami spolu s jejich individuálním děním, na co usuzujeme prostřednictvím obecných pojmů. V odlišnosti ke klasickému realizmu se pojetí skutečnosti v novodobé noetické skepsi rozplývá, a s tím i pojem pravdy.

Přes veškerou noetickou skepsi tolik rozšířenou v novověké filosofii se jakékoliv seriozní uvažování o skutečnosti a z toho pocházející poznání ustaluje v hlediscích: objektivity poznání, jistoty (evidence) poznání, nutnosti poznání, všeobecnosti poznání v patřičné vzájemné vyváženosti. V těchto hlediscích poznání se ustaluje poznání klasického realizmu. Novodobá filosofická skepse a ruku v ruce s ní exaktní redukcionizmus způsobují defekt některého z těchto hledisek poznání a narušuje patřičnou vyváženost charakteristik poznání.

Novodobá skepse posunuje předmět poznání do úrovně jevů, faktů a podobně. Lze se k tomu ptát, co je potom předmětem rozumového poznání: je předmětem poznání smyslová zkušenost, je předmětem poznání samo smyslové poznání, anebo z něho plynoucí fakta, anebo je předmětem poznání sama skutečnost? Každý vyhraněný skeptik je ve svém všedním životě, kdy zapomíná na svá metodologická vymezení a omezení, přirozeně realistou, zatímco ve skepsi se bude prohlašovat za positivistu. Vůbec mu nevadí a na mysl nepřijde, že přirozeně si vykládá svět jinak, ale tento přirozený obzor skutečnosti novodobě beznadějně uniká. Pokud se však jako předmět poznání vymezí skutečnost sama, zůstává pro kritické poznání zachováno kritérium objektivity.

Jistota je stavem mysli. Evidence znamená v poznání jistotu, samozřejmost, zřejmost či patrnost vědění, které nevzbuzuje podezření z nejistoty. Dogmatické přijímání jistoty svádí až k přijímání poznání bez kritických důkazů. Nebo bývá zaměňována evidence s pravdou samotnou bez kritické reflexe. Novodobá filosofická skepse je nedůsledná v kritickém noetickém zdůvodňování evidencí. Klasický realizmus bude ke všem evidencím vyžadovat noetický důkaz jejich pravdivosti.

Nutnost je hlediskem poznání k pravdám, které nemohou být jiné. V hledisku nutnosti lze hovořit o nutnosti pravdy. Filosofická skepse a exaktní redukce se hledisku nutnosti poznání vyhýbají apak mnohdy zaujímají postoj, jako by veškeré poznání povstávalo bez jakýchkoli počátků poznání; rozum je pak představován jako tabula rasa výhradně závislá na smyslové zkušenosti. Postupně se pak vytrácí smysl pro pravdu, která se přinejmenším relativizuje, ne-li znemožňuje. Klasický realizmus dokazuje hlediska nutných pravd pro jakékoli návazné poznání. Jsou to hlediska nutných pravd, bez kterých ztrácí jakékoli myšlení svoji platnost. Postmoderní myšlení se často ubírá takovouto cestou myšlenkové autodestrukce.

Všeobecnost je hlediskem poznání, které dává možnost uplatnit a přenášet poznání nad mnohostí jednotlivin a individuálních příběhů, dění. Narušení tohoto hlediska skepsí znemožňuje zobecňování a abstrakci. Novodobá skepse připouští zobecnění nad množinami, třídami, strukturami, aniž by tím byla brána v potaz plná šíře jsoucna. Reduktivní metoda se tak míjí s možnými noetickými hledisky obecnosti. Klasický realizmus v kritické reflexi prokazuje analogii jsoucna a s tím spojená hlediska všeobecnosti.

Jestliže vědecké poznání se utváří v hlediscích poznání objektivity, jistoty, nutnosti a všeobecnosti, pak klasický realizmus je v tomto smyslu vědeckým poznáním už tím, že v kritické reflexi dbá na soustavné a systematické noetické dokazování těchto hledisek a jejich vyváženost. Novodobá filosofická skepse anovodobá exaktní redukce přivádí vždy nějak k omezení těchto hledisek. Vdůsledku skepse se dostavují v poznání více či méně projevy agnosticizmu, nihilizmu, relativizmu, a to ještě pořád v rámci vědeckého stylu poznání. Jsou to projevy metodologicky programového zamlčení tematizace jsoucna jako jsoucna, zamlčení bytí. Samo toto zamlčení sice nikterak nediskvalifikuje exaktní poznání jako vědu, protože i tak zůstává zachováno exaktní reduktivní poznání jako systematické a soustavné poznávání předmětu v dané metodologii. Nadto exaktní reduktivní věda se stala vysoce účinnou a úspěšnou. Přímo vzorem účinnosti a úspěšnosti je matematika a fyzika. Zamlčenost jsoucna jako jsoucna a ochabnutí jeho tematizace není proto problémem exaktních věd, ale je to v první řadě problémem filosofie, která pro změnu při takovéto tematizaci nikdy nebude, a nemůže být ve smyslu novodobé přírodovědy úspěšná a účinná. Zároveň si filosofie přestala klást otázku, proč novodobá exaktní reduktivní věda je tak přesvědčivě účinná a úspěšná natolik, že nepotřebuje vůbec reflektovat metafysickou tematizaci počátků jakéhokoli poznání. Z prostředí novodobých exaktních reduktivních věd se metafysická tematizace nijak nejeví; pak pro ně není a nebude metafysická tematizace ani objektivní, ani jistá, ani nutná, ani všeobecná. Jinak řečeno to znamená, že pro onu účinnost a úspěšnost exaktní reduktivní vědy je postačující soustavné a systematické poznávání souvislostí mezi určeními místa, času a způsobu bez ohledu na to, čím jsou tato určení možností k uskutečnění podložena vzhledem ke jsoucnu jako jsoucnu. Takový ohled je pro exaktní reduktivní vědu nadbytečný a pro účinnost a úspěšnost není nutný.

Takový ohled je však platný pro klasický realizmus. Naopak filosofie, která se z nějakého důvodu vzdá metafysické tematizace, se bude sama sebe programově vymezovat jako filosofie nemetafysická anebo jako filosofie po smrti metafysiky. Pak ovšem filosofie nemetafysická anebo po smrti metafysiky bude uzavřena v nějakých mezích před myšlenkovým dosahem k noetickým a ontologickým hlediskům a v konečných důsledcích bude taková filosofie vykazovat směřování k autodestruktivitě myšlení. Tak se třeba formulují některé postmoderní filosofické programy zaměřené proti principiálnímu rozumu, proti objektivitě poznání, proti pravdě a podobně. Autodestruktivní filosofie je diagnózou doby, podbízí se a stává se poplatnou komerčnímu, konsumnímu a globalizujícímu stylu života. Postmoderní posun myšlení má bezesporu souvislost s tím, že vývojem přírodních věd a následně techniky a technologií se abstraktní pojmy a skutečnost postupně stávají na sobě nezávislé. Zatímco pro starověk a pro středověk, kde filosofie byla metafysická, byly abstraktní pojmy a skutečnost sama ve vzájemné souvislosti natolik, že je nebylo snadné od sebe odlišovat. V tom navazoval a navazuje klasický realizmus. Nová doba, a zejména postmoderní myšlení ztratilo souvislost obecných abstraktních pojmů se skutečností, obecné pojmy mají smysl symbolů, znaků a metafor mnohem více, než přítomnost skutečnosti. Myšlení se proto v moderně a jejím postmoderním vyvrcholení stává obsahově vyprázdněné. Je problémem novověké filosofie, že ztrácí schopnost transcedence abstraktních obecnin do říše konkrétních individuí a naopak. V klasickém realizmu zůstává proto pro filosofii naděje uvést myšlení a poznání do souvislostí s konkrétní skutečností, která může být tematizována zase jednou také metafysicky.

b) Konstruktivní pojmy

Percy Bridgman považoval slepé lpění na víře v platónský svět matematiky za neověřenou a nebezpečnou náboženskou víru s metafysickým pozadím: „Domnívám se, že v přístupu mnoha kosmologů k matematice je přítomen metafysický prvek. Metafysickým míním předpoklad “existence” platností, které nelze operativně ověřit... V každém případě bych nazval metafysickým přesvědčení, že je vesmír řízen přesnými matematickými principy, a jeho důsledek, že lidská bytost díky šťastnému tour de force dokáže tyto principy formulovat. Když se například při rozhovoru zeptám věhlasného kosmologa, proč se nevzdá Einsteinových rovnic, když mu působí tolik problémů... , odpoví, že něco takového je nemyslitelné, že představují to jediné, čímž jsme si opravdu jisti.“4 Citované přesvědčení zjevně zaměňuje pravdu s evidencí. Při této záměně je zřetelný problém tolik časté důvěry matematiků v jakousi blíže neprojasněnou platónskou matematickou skutečnost.

Jestliže se nám jednou podaří pochopit, že to, co tak jasně vnímáme svými smysly, jsou projevy smyslům nesrozumitelné skutečnosti, pak se nám podařilo nahlédnout k tomu, čím se zabývá filosofie. Jestliže se nám jednou podaří tematizovat porozumění tomu, co je ta skutečnost, která se ukazuje, pak jsme se přiblížili metafysice. Pokud jednou porozumíme tomu, co je matematika a proč tak vynikajícím způsobem je aplikovatelná snad ke vší skutečnosti, pak jsme se dostali až k filosofii matematiky a k souvislosti s metafysickými předpoklady matematizujícího vědění. Ani k jedné z naznačených tematizací nebudeme odpovědi nacházet nijak snadno. Naopak zjistíme velmi brzo, že naše ustálené představy o universalitě matematiky a její všeobecné aplikovatelnosti na cokoliv možného jsou jen zvykem, a potud předsudkem. Brzo se přesvědčíme o tom, že příroda sama o sobě není ve svém přirozeném ustavení bezprostředně matematickou, zjistíme, že taková úspěšná a účinná aplikovatelnost matematiky na fyzikální skutečnost ještě není svědectvím o tom, že sama příroda je právě taková. Přesvědčíme se, že by byla omylem taková principiální fundace, která by ztotožnila přírodu s aplikovatelností matematických metod. Veškeré přirozené dění v přírodě po celém přirozeném dosahu je obsažné. Přirozené dění je plné příběhů, které se naplňují. Vše, cokoliv je, je ve svém bytí obsažné a naplňuje se svým příběhem svých událostí. Přirozené tvary jsou neostré. Přirozené tvary „kulatosti“ ještě nejsou matematickým vyjádřením „koule“ nebo „kruhu“. Do takové matematické tematizace koule nebo kruhu mohou být přirozené tvary teprve uvedeny. Matematické tvary nemají svoji obsažnost individuálních naplňujících se příběhů, jakou pro změnu má každá jednotlivá individuální skutečnost. Zato cokoliv skutečného, co má nějakou existenční kapacitu, cokoliv co je a co nějak může být, může být poznáváno ve svém aspektu materiálním a formálním; má tedy svůj obsah i tvar; skutečnost, která může být poznávána, má svůj materiální a formální aspekt poznávání. Tematická matematizace je potom nějak možná, aniž by bylo zprvu zřejmé, jak lze matematizaci uskutečnit. Přitom matematické entity na sebe berou podobu bytí ideálních objektů poznávání a jako takové jsou matematickým světem.

Redukce exaktních věd, která se ukázala být tolikrát vůči skutečnosti užitečná, úspěšná, a účinná, se uskutečňuje prostřednictvím matematizující tematizace. Matematizující metoda si skutečnost patřičně převede do matematických vyjádření a funkčních vztahů matematických struktur. Matematizující tematizace vytvoří vůči skutečnosti vhodné konstruktivní pojmy, jimiž se vztahujeme ke skutečnosti v určeních místa, času a způsobu. Konstruktivním pojmům rozumíme jako abstraktním pojmům a představujeme si je jako ideální entity. Fyzika je takto příkladem přírodovědné metodologie.

Konstruktivní pojmy umožňují pogalileovskou přírodovědu s její matematizací přírody. Konstruktivní pojmy umožňují matematizaci skutečnosti. Fyzika utváří mnohé konstruktivní pojmy, aby jejich prostřednictvím dosáhla reduktivní shody mezi teorií a pozorováním, experimentem a měřením v určeních místa, času a způsobu. Prostřednictvím reduktivních pojmů dosahuje fyzika shody výpočtů se skutečností. Fyzika vychází ze 7 základních veličin: délka, hmotnost, čas, proud, teplotní rozdíl, látkové množství, svítivost. Z nich vytváří odvozené veličiny. Fyzika uvádí jednotlivé veličiny do vzájemných vztahů, aby z nich vytvářela konstruktivní pojmy pro funkční deskripci, predikci a rekonstrukci skutečnosti.

Příkladem takových fyzikálních konstruktivních pojmů mohou být: rychlost, zrychlení, síla, moment síly, hybnost, silový impuls, ale také setrvačnost, pohyb rovnoměrný, nakloněná rovina, volný pád,... Konstruktivní pojmy jsou racionální pojmy. Jejich původ je rozumový. Jako pojmy jsou to abstraktní pojmy, které poskytují dostatečnou evidenci. Jsou logicky uchopitelné natolik, že při své evidenci vytvářejí představu dostatečně zřetelného světa fyzikálních skutečností. Abstraktní konstruktivní pojmy mají potom poznávací funkci: prostřednictvím abstraktních pojmů se popisuje a při redukci nakonec už i ukazuje samo přirozené dějství. Na tom je založena fyzikalizující redukce skutečnosti. Přirozený obsah skutečnosti se reduktivní metodou vyprázdní až k jeho zapomenutí. Abstraktní pojmy a konkrétní obsažná skutečnost v důsledku redukce ztratí vzájemnou souvislost natolik, že zůstane zachována souvislost jen vurčeních místa, času a způsobu. Obsah abstraktních konstruktivních, reduktivních pojmů a obsah skutečnosti samé se neshodují onic víc, než v určeních místa, času azpůsobu. To však je postačující a úplnou podmínkou úspěšnosti a účinnosti fyzikalizujících redukcí, že lepší shody mezi výpočtem a mezi pozorováním, experimentem aměřením nelze jinou cestou dosáhnout. Reduktivní konstruktivní pojmy jsou pojmy abstraktních teorií, nejsou bezprostředními pojmy skutečnosti. Reduktivní konstruktivní pojmy jsou vzhledem ke skutečnosti umělými abstraktními pojmy. Bezprostřední pojmy skutečnosti si zachovávají se skutečností obsahovou identitu. Reduktivní konstruktivní pojmy skutečnost obsahově vyprazdňují a skutečnosti připisují svůj reduktivní obsah. Reduktivní konstruktivní pojmy jsou modelovými pojmy. Model je vždy něčím jiným, než čím je originální předloha. Prostřednictvím reduktivních konstruktivních pojmů je pak skutečnost myšlena exaktně, tedy s vynikající přesností a přísností v určeních místa, času a způsobu, aniž by vznikala potřeba se při tom ještě na něco dalšího podstatného ze skutečnosti ptát.

Proto nemůže být z prostředí exaktní reduktivní přírodovědy dohledu k tematizaci bytí jsoucna jako jsoucna, i když taková tematizace bytí může znovu apřes všechny umělé zákazy naléhavě vystoupit vždy, kdy se budeme dotazovat na jsoucno jako jsoucno, kdy budeme tematizovat bytí skutečnosti. Reduktivní exaktní přírodověda je ve své metodologii umělostí nemetafysická, ač je metafysika výchozím předpokladem jakéhokoli vědění. Nemetafysická umělost reduktivního exaktního vědění sama o sobě není ani v nejmenším důvodem, aby nemohlo být poznání skutečnosti kriticky reflektováno v celém dosahu jsoucna jako jsoucna. Reduktivní exaktní poznání je speciálním metodologickým případem možného poznávání a ovlivňování skutečnosti; je vzhledem ke skutečnosti parciální podle předmětu zkoumání a podle metodologie. Reduktivní metodologie nepostihuje všechny kategoriální roviny poznávání skutečnosti a poznání skutečnosti naopak převádí do umělosti konstruktivních pojmů a jejich funkčních vztahů.

c) Možnost matematiky a matematizace Skutečnosti

Přestože matematizující redukce se ukázala být překvapivě účinná a výstižná, přesto je omylem považovat matematiku spolu s Galileim a jeho následníky za jazyk přírody. Podívejme se na povahu fyzikálních zákonů v podání Feynmana: „Je tu však také rytmus astruktura přírodních jevů, které nejsou viditelné pouhým okem, ale jen za pomoci analýzy. Tento rytmus a strukturu nazýváme fyzikálními zákony... Důvod, proč se planety a ostatní tělesa samy od sebe pohybují rovnoměrně přímočaře, není znám. Původ zákona setrvačnosti nebyl nalezen... Dnes jsou naše fyzikální teorie, fyzikální zákony, souborem různých částí a kusů, které nejdou moc dobře dohromady. Nemáme jednu strukturu, ze které je všechno odvozeno; máme několik částí, které spolu dokonale neladí... Neznáme spojení mezi nimi... Jinými slovy, ačkoli jsem popsal matematický zákon, nepodal jsem žádný klíč k jeho mechanizmu... Také to mají všechny zákony společné - nejsou přesné. Vždycky tu existuje hranice, za níž leží tajemství... Je snadné uvést úplná pravidla a neponechat žádnou volnost komukoli, kdo by chtěl pozměnit myšlenky zákona. Je to jednoduché, a proto to je hezké. Je to složité ve svých důsledcích. Ale základní struktura nebo systém nacházející se za tím vším jsou jednoduché. I to je společné všem našim zákonům. Všechny jsou jednoduché, ačkoli chování systémů, které se jimi řídí, může být komplikované... Všechny naše zákony jsou čistě matematicky formulovány, přičemž matematika bývá často složitá a těžko pochopitelná... Matematika není pouhý jazyk. Matematika je jazyk a zároveň způsob uvažování. Je to jazyk plus logika. Matematika je nástroj myšlení... Enormní složitosti přírody, s jejími legračními zákony a pravidly,... jsou ve skutečnosti velmi propleteny. Bez matematiky nevidíte cesty, kterými vám v tomto velkém množství různých tvrzení dovoluje logika přejít od jednoho k druhému... Správný zákon, jak tomu rozumíme dnes, splňuje minimální princip a je lokální. Dnes věříme, že fyzikální zákony musí mít lokální charakter a musí také obsahovat minimální princip, ale přesně to nevíme. . Matematikové se zabývají pouze strukturou myšlení, nestarají se, o čem ve skutečnosti hovoří. Oni dokonce nepotřebují vědět, o čem hovoří, - nebo jak sami tvrdí, jestli to, co říkají, je pravda... Matematikové připravují abstraktní myšlení, aby se ho dalo použít, kdykoli máte soubor axiomů vztahujících se k reálnému světu. Ale fyzikové připojují ke každému pojmu i význam.5

V dějích vyjádřených matematickou zákonitostí jsou některé příznačné rysy, které umožňují matematizaci: linearita a nelinearita, lokálnost a nelokálnost, globálnost, symetrie a zachování. Pro vlastnost linearity se dílčí řešení stávají výsledkem celku součtem těchto dílčích řešení. Lineární děje jsou takto snadno matematicky vyjádřitelné. Nelinearita se projevuje u mnoha dějů a vnáší do problému matematizace mnohdy nesnadnou složitost. Malé změny v počátečních podmínkách nelineárních dějů mají za následek obtížně předvídatelné změny. Přírodní děje jsou svojí povahou často nelineární a jejich celková matematizace vyžaduje aproximativní postupy z prostředí lineárních dějů.

Lokálnost bytí individuí je nám samozřejmá. Jsoucnům dobře rozumíme ve smyslu zde a nyní. Lokálně pozorujeme také stálost i proměnlivost, klid i pohyb. Vlokálnosti zachycujeme podmínky a určení přirozených událostí, ve kterých se něco uchovává a něco proměňuje. K tomuto smyslu pro lokálnost dějů se vztahuje možnost matematizace. Přirozené děje jsou však mnohdy také nelokální. V nelokálnosti jsou mnohá určení neurčitá, matematizace je zachycuje jako pravděpodobná anebo kvantovaná. Nelokálnost vnáší do matematizace neurčitost a nejednoznačnost.

Matematizace čerpá z výhod poskytovaných vlastnostmi linearity a lokálnosti ,a činí tak mnohé individuální přírodní dění přehlédnutelné obecně v globálnosti. Globálnost poskytuje možnost společného nadhledu mnoha individuálním dějům.

Symetrie, asymetrie a disymetrie jsou projevy rytmů přírodního dění, v nichž se něco při proměnách určitého druhu zachovává. Tak pozorujeme u přírodních dějů zákonitosti zachování. Přírodní děje se projevují zachováváním nějakého globálního vzoru na pozadí lokálních volností pohybu.

Tak jak je matematizace přírodního dění možná a jako taková až překvapivě účinná a úspěšná, tak se mnoho matematiků a fyziků shoduje na tom, že by vůbec nebylo nijak nutné, aby samotné matematice odpovídala nějaká skutečnost. Matematika by prý byla, i kdyby nic skutečného nebylo. Je to skrytý platonizmus, který v takovýchto tvrzeních vystupuje. Matematické entity vytvářejí svébytný, samostatný svět matematických (resp. fyzikálních idealit). Přesto povaha existence matematických entit se liší od způsobu, jímž existují všechny reálné věci. Matematické abstraktní entity jsou idealizace a jsou v jednom hledisku aktem rozumu, v druhém hledisku jsou samy sebou, byť ideálně. Deflační pojetí matematizace (teorie oslabující pojem pravdy jako triviální a zhodnocující hledisko silné bezespornosti) se pak vůbec neptá a nepotřebuje ptát na způsob reality matematických entit. Jediným požadavkem matematické teorie je silná bezespornost tvrzení. Nutně pravdivé, které matematika vyžaduje, se sestává z noetické pravdivosti a z logické pravdivosti. Matematická teorie M je silně bezesporná tehdy, jestliže jejím připojením k jiné bezesporné teorii T vznikne nová teorie MT jako bezesporná. Na tom spočívá pojetí rozvoje matematických teorií. Nutně pravdivé a silně bezesporné se tak v matematické teorii uplatňuje jako noetická nutnost pravdy (nelze myslit kontradiktorické opositum) i jako logická nutnost (logická správnost myšlení). Aplikabilita matematické teorie na skutečnost může být interpretována obdobně. Skutečnost se v nějakých určeních vydává možnostem určení místa, času a způsobu. Tato určení místa, času a způsobu lze přirovnat možnostem silně bezesporného vyjádření S ; (skutečnost v těchto určeních je a nemůže v nich jako jsoucí nebýt). Do toho se promítá smysl noetického principu sporu. Jestliže k silně bezesporným určením lze uplatnit silně bezespornou matematickou teorii M tak, že toto uplatnění MS je silně bezesporní, pak můžeme teorii M považovat vůči S za aplikovatelnou matematickou teorii vůči určením S skutečnosti. Analogie jsoucna umožňuje matematickou transcendenci, v níž je mnohost jednotlivých dějů přehlédnutelná globálně odpovídající matematizací. Analogie jsoucna (analogia entis) je metafysickým aspektem, který umožňuje matematické poznání skutečnosti. ANALOGIA znamená podobnost, shodnost, poměrnost. Ve smyslu analogie jsoucna je v poznávacím aktu možná podobnost, shodnost a poměrnost, zakládající racionalitu matematických tematizací.

d) Realizmus matematických obecnin

Filosofie matematiky se tradičně setkává s některými náhledy na matematiku, k nimž se nakonec vždy matematika ukáže jako neredukovatelná. Běžně se matematik kloní k představě, že matematické zákony objevuje bez ohledu na to, zda jim vůbec něco skutečného ve světě odpovídá. Mnohdy se matematik chová jako platonik, který se k tomuto přesvědčení nehlásí veřejně, a pokud by byl dotázán, byl by k hledisku platonizmu velmi opatrný. Ve smyslu matematického platonizmu předchází matematika skutečnost a předchází možné aplikace ke skutečnosti; matematika je vzhledem ke skutečnosti nezávislá. Poněkud jinak to bude vypadat, když se vezme v úvahu úspěšná a účinná aplikovatelnost matematiky na přírodní dění. Fyzik bude snadno inklinovat k pohledu, že veškeré matematické poznání má bezprostřední zdroj ve zkušenosti, protože sám svět je takový. Podle toho mnoho přírodovědců nereflektovaně přijímá matematiku jako analogii přírody, která nikdy neselže a nikdy nezradí. Pro filosofii matematiky tak zůstává otevřené tázání, zda matematika je jen pouhou analogií skutečnosti, nebo zda matematika sama je skutečností, vůči které je faktický svět jen pouhým nedokonalým odleskem? Na jedné straně máme „skutečný“ svět určitých věcí a vztahů mezi nimi, který smimořádným úspěchem poznáváme za použití tzv. abstraktního matematického světa rovnic, čísel, geometrií, algeber a dalších. Jednotlivé části obou světů můžeme přesunout do světa druhého: z reálného světa do matematického procesu abstrakce (jako když vidíme určitý vzor vetkaný do koberce a hledáme všechny možné vzory podobného typu) a opačným směrem specifikace (když vezmeme všechny možné geometrie a vybereme tu, která popisuje geometrii na ploše). Tato vize vyvolává však dvě zajímavé otázky. Existují vůbec nějaké oblasti reálného světa, které nelze abstrahovat do světa matematického, a naopak, existují nějaké oblasti matematického světa, které nelze doložit příkladem z reálného světa kolem nás?“6

Problémy podobného druhu nemá jen filosofie matematiky, ale v jiné podobě je naprosto relevantní otázka po povaze matematiky pro samotnou metodologii matematiky. Ve svých důsledcích se tyto problémy projevily v pojetích formalizmu (např. Hilbert, Bernays), axiomatizace bourbakizmu (Bourbaki), intuitionizmu (např. Brouwer, Weyl), konstruktivizmu (Kolmogorov), logicizmu (Russel, Whitehead) a jiných metodologických pojetích matematické teorie. Ani jedno z pojetí matematické metodologie nezůstalo bez problémů samo pro sebe i pro svoji aplikaci vůči skutečnosti kolem sebe.

David Hilbert vytvořil program formalizmu matematiky v návaznosti na matematické problémy. Formalizmus se pokusil o vytčení hlavních problémů matematiky a zároveň se snažil prokázat oprávněnost důvěry v konsistentnost axiomů matematiky. Tvrzení, že systém je konsistentní, je ekvivalenentní tomu, že nějaké tvrzení je v daném systému nevyvoditelné. V tomto předpokladu o matematice se skrývá požadavek na to, aby nebylo možné odvodit tvrzení taková, že by současně mohlo platit „něco“ a zároveň by mohla platit „negace toho něčeho“. Tato principiální spornost by měla být v konsistentním systému nevyvoditelná. Nekonsistentní systém by připouštěl takovéto podivné rozpornosti. Překvapení vnesl Kurt Gödel, který dokázal neúplnost aritmetiky, a v důsledku toho by byly možné v matematice jen finitní logické kroky. Gödel dokázal, že aritmetika je nekonsistentní a neúplný logický systém. Alfred Tarski navázal a ukázal, že logické systémy jsou také sémanticky nekonsistentní: pokud je matematický systém konsistentní, pak to znamená, že soubor všech pravdivých vět systému není definovatelný v systému samotném. Podle toho musí v matematice existovat pojmy, které nemohou být definovány uvnitř svých formálních systémů. Logické a matematické systémy jsou natolik bohaté, že obsahují aritmetiku, že jsou neúplné, že obsahují formálně nedokazatelná tvrzení uvnitř daného formálního systému, že jsou sémanticky neúplné, a tudíž existují takové pojmy, které nelze definovat pomocí jazyka a pomocí pojmů daného formálního systému. Důsledkem takovýchto překvapení bylo uznání toho, že neexistuje formální systém, v němž by byla možná rozhodnutelnost pravdivosti všech matematických tvrzení a v němž by jazykem a pojmy daného formálního systému bylo možno definovat všechny matematické pojmy. Formalizmus se tak setkal s vážnými obtížemi.

Nezůstalo ani u toho. Thoralf Skolem ukázal, že pokud stačí k popisu aritmetického systému konečný počet axiomů, potom mohou mít více než jednu interpretaci, a nadto že tyto interpretace nemusí být isomorfní. Hilbert se původně snažil ukázat, že matematické systémy jsou kategorické. Vezmeme-li nějakou část matematiky a formalizujeme-li ji stanovením axiomů a pravidel dedukce, pak tato část matematiky je jedinou možnou interpretací daného systému axiomů; takovému systému říkáme, že je kategorický. V návaznosti na Skolemovou větu se ukázalo, že pokud je systém kategorický, pak je nutně úplný. Něco takového je v přímém rozporu ke Gödelově tvrzení o neúplnosti systému. Problémy začínají intuitivní představou hilbertovských matematiků, podle které lze všechny matematické systémy axiomatizovat redukcí na konečný počet axiomů. Vskutku se ukázalo, že mohou existovat takové matematické systémy, které axiomatizovat nelze. Skolem objevil systémy bez formálně určených axiomů, které jsou úplnými aritmetikami a současně jsou konsistentní. Podle Gödela by takové systémy nemohly být popsány konečným systémem axiomů, jinak by všechna tvrzení těchto aritmetik byla rozhodnutelná. K tomu Skolem přijal požadavek, podle kterého žádná konečná množina axiomů nemůže charakterizovat přirozená čísla jednoznačně. Jinak řečeno: vždy bude existovat nějaká struktura, která nebude isomorfní s množinou přirozených čísel, zato bude splňovat stejnou konečnou množinu axiomů.

Podle Gödela elementární matematika nutně obsahuje nedokazatelná tvrzení, a proto se částečně opírá o „axiomy víry ve vlastní konsistenci“. Pro nerozhodnutelná tvrzení je možno k množině axiomů definujících systém libovolně přidávat buď toto nerozhodnutelné tvrzení, anebo jeho negaci, abychom dostali vyšší logický systém, který sám zase bude obsahovat jiná nerozhodnutelná tvrzení.

O překvapení v metodologii matematiky není nouze. Formalizovat matematiku tak, aby bylo možné definovat úplný výčet všech dedukcí, které lze utvořit z konsistentních axiomů systému pomocí konečných metod, se nepodařilo, a vše nasvědčuje tomu, že se ani nepodaří. Matematika je neredukovatelná na úplný formalizmus.

Intuitionizmus volil poněkud jinou metodologii matematiky. Luitzen Brouwer redukoval matematiku ve smyslu intuitionizmu. Zaměřil se na operace matematiky a jim odpovídající aktivity matematického poznávání. Brouwer vycházel z přesvědčení, že bez náležitého reflektování intuitionistických zdrojů matematického poznání nakonec každé matematické poznání bude mít za svůj předmět spíše jazyk, kterým je matematika vyjadřována, než povahu matematických entit. Brower tak směřoval k tomu, že logika je založena na matematice, a nikoliv matematika na logice. Principy logiky nelze proto považovat za obecně aplikovatelné. Brouwer v tomto smyslu definoval matematiku jako konstrukci v konečném počtu kroků nad přirozenými čísly. Takováto matematika se ukázala být menší a slabší, než bylo běžně zvykem chápat matematiku. Z matematické výstavby byly vyloučeny pojmy nekonečna, důkaz „reductio ad absurdum“ (důkaz sporem), a pokud se pravdy týká, pro pravdivostní hodnotu tvrzení bylo možno rozlišovat pravdu, nepravdu a nerozhodnuto. Brouwer takto připustil tři pravdivostní hodnoty a vyloučil zákony vyloučení třetího. Intuitionistická matematika vytvářená v konečném počtu kroků na těchto předpokladech má menší rozsah, než tradiční matematika, má menší sílu, umožňuje snadnější predikce; taková matematika je jen částí celé matematiky v běžně ustálených představách.

Také intuitionistická matematika se setkává s metodologickými problémy teorie, když se jí nedaří matematiku redukovat na niternost mysli. Podobně konstruktivizmus metodologicky neuspěl ve snaze redukovat matematiku na způsob lidské činnosti. V těchto snahách se stávají problémem objekty, které pro svoji existenci vyžadují nekonečný počet určitých operací. Logicizmus se pokusil o redukci matematiky na logiku, aby se setkal s metodologickými problémy, podle jejichž řešení logika vychází z předpokladu možnosti mít matematické struktury.

Platonizmus vyjadřuje matematický svět jako samostatnou skutečnost absolutně ideální povahy. Již Aristotelova kritika naznačovala metodologickou slabinu platonizmu, který v interpretacích skutečnosti se dovolává předchůdnosti absolutních idealit, čímž směřuje k nekonečnému regresu. Aplikace matematiky na skutečnost zasahují všechny oblasti. Ve fyzice matematizce směřuje až k finální teorii všeho. Universální sjednocující teorie si vyžaduje zmatematizovat pojetí prostoru a času. Zprvu se prostoročas nabízí jako spojitost, jako kontinuum, nekonečně dělitelné. Descartes měl představu kontinua hmoty nekonečně složeného a nekonečně dělitelného. V takovýchto pojetích kontinua se pojetí zdroje přírodních zákonů přibližuje představám nekonečných a neproveditelných operací. Struktury a symetrie ze světa fyziky elementárních částic nabízejí kvantovanou diskrétnost prostoročasu. Nabízí se podobenství informačních systémů: realita je množstvím informace (měřitelné bity), z informací jsou odvoditelné přírodní zákony (program, software) uskutečňující se na hmotě (hardware). Taková verze je však příliš poplatná předlohám informačních technologií. Leibniz na rozdíl od Descarta pochopil rozprostraněné kontinuum jako diskrétní nekonečnou mnohost nedělitelných substancionálních monád, jejichž důvod existence není kvantitativní, ale kvalitativní. Klasický realizmus bude při vysvětlování skutečnosti zachycovat jiné kategoriální roviny, než kterým se může věnovat exaktní přírodověda. Individuální jsoucna mohou být pochopena jako ustavení, které nelze redukovat na jedno určení, protože sama skutečnost není reduktivní, ale především je mnohovrstevnatá. Kategoriální vyjádření vypovídají o ustavujících způsobech existujících věcí a principiálnostech jejich bytí. Takové hledisko klasického realizmu je metafysické a není v dosahu speciálních exaktních reduktivních věd. Lze tím vysvětlit potíže, s nimiž se setkávají všechny pokusy o redukci matematické metodologie do analogií z jedné universálně platné kategorie.

Jedním z problémů jak pochopit matematickou skutečnost, je novodobá obsahová vyprázdněnost matematických obecnin. Pochopit matematický svět jako interpretaci z něčeho universálního navozuje předpoklad nekonečného regresu. Realistickým pojetím, které se bude chtít vyvarovat sklouznutí do nekonečného regresu, bude matematická obecnina ve své realitě. Jako taková nemůže být obsahově prázdná.

Považovat matematickou entitu za matematickou skutečnost není pro matematika nic nepřirozeného, a k tomu ani nemusí být platonikem. Ilustrovat to lze na následujícím Vopěnkově vymezování matematických objektů, když si vytvářel terminologické předpoklady pro vyslovení alternativní teorie množin, která je vynikajícím azajímavým Vopěnkovým dílem. „Některé jevy si vykládáme jako samostatné jedince, tj. individua anebo unikáty. Těmito jevy jsou právě ty jevy, ke kterým se obracíme tak, jako by měly vlastní individualitu neboli osobnost. Osobnost nějakého jevu je právě tím, čím je on sám a zároveň v čem je on sám. Jinak řečeno, osobností nějakého jevu rozumíme to, co tento jev drží pohromadě, co z něho činí uceleného jedince a co ho zároveň osamostatňuje, v čem se jeho bytí podílí na samotě - a nic víc. . Jevům, kterým přiznáváme osobnost, říkáme objekty... Vyčleněním těch jevů světa, kterým přiznáváme osobnost, tedy rozhodnutím, které jevy prohlásíme za objekty, se odedávna začínal výklad světa. Na objekty potom hledíme jako na obyvatele světa, zatímco většinu zůstávajících jevů si budeme vykládat jako jevy průvodní. Tyto průvodní jevy nemají samostatné bytí, ale jejich bytí je bytím objektů, na nichž se ukazují... Některý průvodní jev se může ukázat už na pouhém jediném objektu. Takovému jevu říkáme jev jednomístný anebo vlastnost. Jiný průvodní jev se může ukázat až na nějakém společenství objektů. Takovému jevu říkáme jev vícemístný anebo vztah. Dále můžeme rozlišovat vztahy dvojmístné, trojmístné, libovolněmístné apod. .. Porozumění pro totožnost jevu čili porozumění, že v různých souvislostech se ukazuje stále ten samý jev, tedy například, nejenže strom, který pozorujeme, je stále tentýž samý strom, ale že je to ten samý strom, který jsme tu viděli již před rokem, patří k nejpozoruhodnějším, též však k nejobtížněji vysvětlitelným jevům našeho porozumění světu. Přitom v našem porozumění hraje porozumění pro totožnost jevů klíčovou úlohu. O něj se opírá porozumění pro návaznost světa, jeho trvání i změny. Měnit se totiž může jen to, co zůstává stále sebou, tedy přísně vzato to, co se vlastně nemění. Strnulá složka našeho porozumění světu opírající se právě o porozumění totožnosti jevu nám umožňuje dobývat ze světa jeho strnulou kostru, které se potom týká naše věda o světě. Matematika je věda, která si od počátku byla vědomá této skutečnosti a nesnažila se ji zakrývat.7 Uvedený Vopěnkův text je ukázkou toho, že matematik potřebuje vyložit povahu matematické reality. Je to přímo náznak klasického realizmu s tím, že jsou zde záměrně použity jiné pojmy, než pojmy metafysické, jako třeba substance, esence, akcidenty, propria a jiné.

Matematika a skutečnost. Tento problém zůstává nadále nedokončen přes všechny proměny pojetí matematické metodologie z 20. století. Lze to interpretovat také tak, že z prostředí matematické abstraktní reduktivity nelze ke skutečnosti bezprostředně dohlédnout. Však také řada matematiků považuje matematiku za samostatný svět idealit, který je na skutečnosti nezávislý a možnosti matematické aplikace jsou až druhořadé. Přirozené tvary, množství a uspořádání v přírodě jsou matematikovi nejasnou předlohou tematizující matematizace. Matematická skutečnost je ideální, je abstraktní, je reduktivní, je vyprázdněna ode všeho individuálního obsahu, a přesto v určeních místa, času a způsobu je k přirozené skutečnosti poukazná a vůči ní analogicky podobná. Svébytnost a nutnost ustanovení matematických entit propůjčuje matematickým idealitám jejich vnitřní konsistentnost a ustálenost, která je uskutečňuje do podoby ideálních jsoucen. V tomto smyslu nabývá matematika své ideální objektivity jako pomyslná realita. Modalita matematického jsoucna je idealita. Matematické ideality jsou rozumové a realizují se z možnosti do skutečnosti. Matematické entity uváděné v soudech do vzájemných vztahů matematického uskutečnění se vypovídají v pravdivostních hodnotách poznání jako pravdivé, anebo nepravdivé. Matematické jsoucno lze studovat jako jsoucno, a tím je matematika tematizovatelná také metafysicky. Metafysická tematizace není a nemůže být předmětem matematiky, ale je a zůstává předmětem filosofie. Z prostředí matematiky nemůže být metafysická tematizace matematického jsoucna jako jsoucna položena.

Metafysická tematizace je jiným poznáváním, než jaké přináší metodologie matematiky ve svých podobách formalizmu, intuicionizmu, logicizmu a jiných. Metafysická tematizace také není metamatematikou, která si stále uchovává svůj matematický předmět a matematickou metodologii. Skutečnost, bytí není a nemůže se stát předmětem matematického zkoumání. Skutečnost a bytí však dává předporozumění matematickému zkoumání. Jestliže metafysika bude tematizovat matematickou skutečnost a její souvislost s faktickou skutečností a s bytím, pak to nikdy nebude zkoumání redukující jsoucno na formální předmět poznávání, reduktivně vyprazdňující pojmy od jejich obsahu, jak činí exaktní vědy; metafysické zkoumání nebude poznáváním reduktivním. Takové metafysické zkoumání bytí matematického jsoucna nebude přinášet novoty pro matematickou reduktivní metodologii, neponese s sebou manipulativní pokrok. Mnohým se to může zdát být nezajímavé a neplodné, třeba i opovržení hodné. Metafysické zkoumání matematického jsoucna jako jsoucna bude tematizovat to, co se v matematice považuje za běžné samozřejmosti, které jsou natolik samozřejmé, že v běžné matematické činnosti už ani nejsou podrobovány tázání a o to méně jsou porozuměny a pochopeny v tematizaci bytí. Poznávací přínos metafysické tematizace je v porozumění skutečnosti jako celku, v porozumění ustavení skutečnosti, v porozumění matematickému jsoucnu jako jsoucnu, jeho pregnantnosti, jednotě, konsistentnosti, identitě, analogii, existenci, esencialitě a jinému a jinému. Proč má smysl metafysické tázání nad matematikou? Protože metafysické tázání se dotýká mnohovrstevných rovin skutečnosti, které nemohou být předmětem žádné speciální reduktivní vědy.

Soustavnost a systematičnost metafysické tematizace v kritickém přezkoumávání objektivity a nutnosti poznávaného činí metafysiku plnohodnotnou vědou.

Matematika chápe své entity prostřednictvím jim odpovídajících abstraktních pojmů. V tom smyslu je obecný matematický pojem realistický tak, jak tyto entity pojímá. Tuto okolnost lze také interpretovat tak, že právě pro realizmus matematických obecnin má matematická metodologie interpretační sklon k platonizmu. Matematická obecnina je realistická. Nepotřebuje vnější svět. Ba dokonce by se obešla bez zhmotněného názoru ( i když - co by pak zůstávalo a bylo, kdo a o čem by přemýšlel). Matematika jako věda duchovní si vystačí s fantasmaty jako předlohou své tematizace abstraktních entit. FANTASMA může nabývat podoby předlohy geometrických tvarů jsoucen, jejich rozmístění a uspořádání, jejich množství. Obraznost předlohy je v reálné souvislosti se smyslovým poznáváním. Rozum poznává na jsoucnu to, co je rozumově pochopitelné. Rozumově poznatelné je pojmově pochopeno jako KATHOLON, které znamená v celku vůbec, naprosto, všeobecně. Obecné je to, co ze své přirozenosti může vypovídat o entitách. Dnešek uvěřil na to, že obecné se vyčerpává jazykovou funkcí a že obecné postrádá jakoukoliv reálnou obsažnost. Prý postačuje jen ona všeobecná poukaznost idealit, v níž lze myšlenkově přehlížet mnohost individualit. Žádný obecný pojem, ani matematický pojem nelze redukovat na pouhé „nic“ pouhého formálního předmětu. U každého pojmu zůstává zachována jeho identita obsahu „něčeho“. Tak jsou reduktivní abstraktní pojmy matematiky latentně realistické a tomu může odpovídat i rozvrh filosofické kritické reflexe matematizace.

Rozvrh tematizace klasického realizmu ukáže jiné roviny matematizace, než k jakým může dospět matematika sama. Vzhledem k matematickým entitám, tvrzením o nich a vzhledem k matematickým aplikacím lze systematicky a soustavně rozvíjet tematizaci logiky, noetiky, ontologie, filosofie přírody, kosmologie, antropologie, filosofické theologie, etiky a poietiky. V klasických kategoriích jsoucna (substance, kvantita, kvalita, vztah, místo, posice, čas, činnost, trpnost, stav) se matematické entity ukáží tematizovatelné jen v některých aspektech jako specificky matematická ustavení, zatímco v jiných aspektech se matematické entity budou ukazovat jako taková ustavení jsoucna, které matematika již nepostihuje, ale které mají povahu objektivních aspektů transcendentality anebo povahu analogie jsoucna. Ontologická struktura matematických jsoucen se ukazuje jako noeticky objektivní a nutná Matematická indukce může být příkladem zpřítomňování ontologických a noetických předpokladů sylogizmu. Novověk uvedl indukci do hledisek pravděpodobnosti a psychologické reflexivnosti. Ontologie matematických struktur a noetické předpoklady jejich poznávání mohou ukázat, že induktivita není nahodilostí, ale má objektivní povahu. Objektivita indukce je noeticky prokazatelná jak vůči strukturám matematických entit, tak vůči přirozenosti reálných jsoucen. Vše, co spočívá v důvodu přirozenosti svého nositele se vyskytuje nutně a objektivně u všech jednotlivin téže species. V aplikacích matematiky na přirozenost se indukce uskutečňuje jako poznávací akt objektivních ontologických předpokladů FYSIS. Vedle indukce pak důkazy vedené pomocí analogie vyúsťují v pravděpodobné poznání. To proto, že podobnost předpokládá též různost a odlišnost. Pravděpodobnost analogických důkazů má původ v rozdílných podobnostech jsoucen (vlastnosti, cíle, příčiny), byť hledisko podobnosti pravděpodobnosti zároveň také sjednocuje ke stejnému a totožnému.

ZÁVĚR

V hledisku klasického realizmu je možno programově rozvinout filosofickou tematizaci matematiky jako metody poznávání, matematiky jako reduktivní abstrakce, matematiky jako vztahových struktur entit, matematizace jako aplikací matematiky na přirozenost. V kritické reflexi se mohou ukázat relevantní ontologicko-ontické a noematicko-noetické úrovně poznávání matematiky, matematizace, přírody, člověka, kosmu, Boha, morálního řádu, tvořivosti. Takový rozsah realistické reflexe naznačuje možnost obnovení dávné filosofické jednoty poznávání skutečnosti, který se v prostředí reduktivního vědění rozpadl.

Může se jednat o všechna objektivní a kritická nahlédnutí předvědeckého, předreduktivního porozumění ustavení skutečnosti, která mohou být na straně jedné komplementární soudobým exaktně reduktivním porozuměním a zároveň na straně druhé mohou přinášet objasňující zdroje exaktní reduktivity v její úspěšnosti a účinnosti, aby obojím poskytovaly tematizaci pro realitu, a tím pro přirozenost, FYSIS, pro smysl života člověka, pro myšlenkovou orientovanost, pro ochranu života, civilizace, kultury, hodnot. V tomto záměru má také své místo kritická realistická komparativní filosofická analýza, která bude v kritické reflexi porovnávat nejrůznější filosofické přístupy k porozumění bytí, skutečnosti a jejímu ustavení, místu, postavení a poslání člověka ve světě, smyslu života, podmínkám a objektivitě poznání.

POZNÁMKY:

• 1. Jaroslav Šedivy: O modernizaci školske matematiky.Praha, SPN, 1999. Str.302

  2. George Polya: Mathematical Discovery. Matematičeskoje otkrytije. Moskva, Nauka, 1976. Str.275

  3. John D. Barrow: Pi na nebesich. O počitani, byti a myšleni. Praha, Mlada fronta,2000. Str. 30

  4. John D. Barrow: Pi na nebesich.O počitani, myšleni a byti. Praha, Mlada fronta, 2000. Str. 254

  5. Richard P. Feynman: O povaze fyzikalnich zakonů. Sedmkrat o rytmech přirodnich jevů. Praha, Aurora, 1998. Str. 7 - 59

  6. John D. Barrow: Pi na nebesich. O počitani, myšleni a byti. Praha, Mlada fronta, 2000. Str. 30 - 31.

  7. Petr Vopěnka:Uvod do matematiky v alternativnej teorii množin. Bratislava, Alfa, 1989. Str 17- 19.